【題目】已知,拋物線y=ax2+bx+4 與x軸交于點A(﹣3,0)和B(2,0),與y軸交于點C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖1,若點D為CB的中點,將線段DB繞點D旋轉(zhuǎn),點B的對應(yīng)點為點G,當點G恰好落在拋物線的對稱軸上時,求點G的坐標;

(3)如圖2,若點D為直線BC或直線AC上的一點,E為x軸上一動點,拋物線

y=ax2+bx+4對稱軸上是否存在點F,使以B,D,F(xiàn),E為頂點的四邊形為菱形?若存在,請求出點F的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)解:∵拋物線y=ax2+bx+4 與x軸交于點A(﹣3,0)和B(2,0),

,解得 ,

∴拋物線解析式為y=﹣ x2 x+4


(2)解:由(1)可知拋物線的對稱軸為x=﹣

∴可設(shè)點G的坐標為(﹣ ,y),

∵點D是BC的中點,

∴點D的坐標為(1,2),

在Rt△OBC中,BC= =2

∴DB= BC=

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知,DG=DB,

∴(﹣ ﹣1)2+(y﹣2)2=5,解得:y=2+ 或y=2﹣ ,

∴點G的坐標為(﹣ ,2+ )或(﹣ ,2﹣


(3)解:①當BE為對角線時,因為菱形的對角線互相垂直平分,所以此時D即為對稱軸與AC的交點,F(xiàn)為點D關(guān)于x軸的對稱點,

設(shè)直線AC解析式為y=kx+b,

∵C(0,4),A(﹣3,0)

,解得 ,

∴直線AC解析式為y= x+4,

∴當 時, ,

∴D ,

∴F

②當BE為菱形的邊時,有DF∥BE

I)當點D在直線BC上時,可求得直線BC解析式為y=﹣2x+4,

設(shè)D(a,﹣2a+4),則點F ,

∵四邊形BDFE是菱形,

∴FD=DB,

,解得 ,

∴F ;

II)當點D在直線AC上時,

設(shè)D ,則點F ,

∵四邊形BFDE是菱形,

∴FD=FB,

∴(a+ 2=(2+ 2+( a+4)2,解得:a1=﹣3(舍去), ,

∴F ,

綜上所述,點F的坐標分別為


【解析】(1)把A、B兩點的坐標代入拋物線解析式可求得a、b的值,可求得拋物線解析式;(2)可設(shè)出G點坐標,利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可求得DG=DB,從而可列出方程,可求得G點坐標;(3)分BE為對角線和BE為邊兩種情況,①當BE為對角線時,則可知BE⊥DF,可知D為對稱軸與直線AC的交點,F(xiàn)為D點關(guān)于x軸的對稱點,可先求得直線AC的解析式,可求得D點坐標,則容易求得F點坐標;②當BE為邊時,可利用直線BC或直線AC的解析式設(shè)出點D的坐標,從而可表示出F點的坐標,再利用菱形的性質(zhì)可列出方程,從而可求得F點的坐標.

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