【題目】(1)觀察推理:如圖①,在中,,直線過(guò)點(diǎn),點(diǎn)在直線的同側(cè),,垂足分別為.求證:.
(2)類比探究:如圖②,在中,,將斜邊繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至,連接,求的面積.
(3)拓展提升:如圖③,在中,,點(diǎn)在上,且,動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)沿射線以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng),連接,將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到線段.要使點(diǎn)恰好落在射線上,求點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間.
【答案】(1)見解析;(2)8;(3)4s.
【解析】
(1)先利用等角的余角相等得到∠EAC=∠BCD,則可根據(jù)“AAS”證明△AEC≌△CDB;
(2)作B′D⊥AC于D,如圖2,先證明△B′AD≌△ABD得到B′D=AC=4,然后根據(jù)三角形面積公式計(jì)算;
(3)如圖3,利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠FOP=120°,OP=OF,再證明△BOF≌△CPO得到PC=OB=1,則BP=BC+PC=4,然后計(jì)算點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t.
(1)∵BD⊥l,AE⊥l,
∴∠AEC=∠BDC=90°,
∴在Rt△AEC中,∠EAC+∠ACE=90°.
又∵∠ACE+∠DCB=180°-∠ACB=180°-90°=90°,
∴∠EAC=∠DCB,
在△AEC與△CDB中, ,
∴△AEC≌△CDB(AAS).
(2)如圖,作B′D⊥AC于點(diǎn)D,則∠ADB′=∠BCA=90°.
由旋轉(zhuǎn)可知,AB′=AB,∠B′AB=90°.
∴∠B′AC+∠BAC=90°,
在Rt△ACB中,∠B+∠BAC=90°.
∴∠B′AC=∠B.
在△B′AD與△ABC中,,
∴△B′AD≌△ABC(AAS),
∴B′D=AC=4,
∴S△AB′C=×AC×B′D=×4×4=8.
(3)對(duì)圖形進(jìn)行角標(biāo)注,如圖所示.
∵BC=3cm,OC=2cm,
∴OB=BC-OC=1cm.
由旋轉(zhuǎn)可知∠FOP=120°,OP=OF,
∴∠1+∠2=180°-∠FOP=180°-120°=60°,
在△BCE中,∠E=∠ECB=60°,
∴∠EBC=180°-∠E-∠ECB=180°-60°-60°=60°,
又∵∠OBF+∠CBE=180°,∠PCO+∠ECB=180°,
∴∠OBF=∠PCO.
在△PCO中,∠2+∠3=∠ECB=60°,
又∵∠1+∠2=60°,
∴∠1=∠3.
在△BOF與△CPO中, ,
∴△BOF≌△CPO(AAS),
∴PC=OB=1cm,
∴EP=EC+PC=3+1=4cm,
∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=4÷1=4(s).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列方程是關(guān)于x的一元二次方程的是( )
A. ax2+bx+c=0 B. =2 C. x2+2x=y(tǒng)2-1 D. 3(x+1)2=2(x+1)
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【題目】如圖1,一次函數(shù)的圖象與y軸交于點(diǎn)A,與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn).
______;______;
點(diǎn)C是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)A、B不重合,過(guò)點(diǎn)C且平行于y軸的直線l交這個(gè)反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)D,求面積的最大值;
將中面積取得最大值的沿射線AB方向平移一定的距離,得到,若點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在該反比例函數(shù)圖象上如圖,則點(diǎn)的坐標(biāo)是______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,小明所在學(xué)校的旗桿BD高約為13米,距離旗桿20米處剛好有一棵高約為3米的香樟樹AE.活動(dòng)課上,小明有意在旗桿與香樟樹之間的連線上來(lái)回踱步,發(fā)現(xiàn)有一個(gè)位置到旗桿頂部與樹頂?shù)木嚯x相等.請(qǐng)你求出該位置與旗桿之間的距離.
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【題目】如圖,∠A=∠B,AE=BE,點(diǎn)D在AC邊上,∠1=∠2,AE和BD相交于點(diǎn)O.
(1)求證:△AEC≌△BED;
(2)若∠1=40°,求∠BDE的度數(shù).
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【題目】已知關(guān)于x,y的方程組 ,其中-3≤a≤1,給出下列結(jié)論:①當(dāng)a=1時(shí),方程組的解也是方程x+y=4-a的解;
②當(dāng)a=-2時(shí),x、y的值互為相反數(shù);
③若x<1,則1≤y≤4;
④ 是方程組的解,其中正確的結(jié)論有
A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系上有點(diǎn)A(1,0),點(diǎn)A第一次跳動(dòng)至點(diǎn)A1(1,1),第二次向右跳動(dòng)3個(gè)單位至點(diǎn)A2(2,1),第三次跳動(dòng)至點(diǎn)A3(2,2),第四次向右跳動(dòng)5個(gè)單位至點(diǎn)A4(3,2),…,以此規(guī)律跳動(dòng)下去,點(diǎn)A第100次跳動(dòng)至點(diǎn)A100的坐標(biāo)是()
A.(50,50)B.(51,51)C.(51,50)D.(50,51)
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【題目】小明學(xué)習(xí)了《有理數(shù)》后,對(duì)運(yùn)算非常感興趣,于是定義了一種新運(yùn)算“△”規(guī)則如下:對(duì)于兩個(gè)有理數(shù)m , n , m △ n =.
(1)計(jì)算:1△(-2)= ;
(2)判斷這種新運(yùn)算是否具有交換律,并說(shuō)明理由;
(3)若a =| x-1| , a =| x-2|,求a△ a (用含 x 的式子表示)
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【題目】某商場(chǎng)用36000元購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品,銷售完后共獲利6000元.其中甲種商品每件進(jìn)價(jià)120元,售價(jià)138元;乙種商品每件進(jìn)價(jià)100元,售價(jià)120元.
(1)該商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品各多少件?
(2)商場(chǎng)第二次以原進(jìn)價(jià)購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品,購(gòu)進(jìn)乙種商品的件數(shù)不變,而購(gòu)進(jìn)甲種商品的件數(shù)是第一次的2倍,甲種商品按原售價(jià)出售,而乙種商品打折銷售.若兩種商品銷售完畢,要使第二次經(jīng)營(yíng)活動(dòng)獲利不少于8160元,乙種商品最低售價(jià)為每件多少元?
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