Question

12．如圖，∠ABC=90°，D、E分別在BC，AC上，AD⊥DE，且AD=DE，點F是AE的中點，F(xiàn)D與AB相交于點M．
（1）求證：△AFM≌△DFC；
（2）AD與MC垂直嗎？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）易證△ADE、△AFD、△DFE為等腰直角三角形，從而可得AF=DF，∠AFM=∠DFC=90°，根據(jù)同角的余角相等可得∠AMF=∠DCF，根據(jù)AAS即可得到△AFM≌△DFC；
（2）由于AD⊥DE，要證AD⊥DE，只需證DE∥MC，只需證∠ACM=∠AED=45°，只需證△MFC為等腰直角三角形即可．

解答 證明：（1）∵AD⊥DE，AD=DE，點F是AE的中點，
∴∠AFM=∠DFC=90°，AF=DF，∠DEA=∠DAE=45°．
∵∠ABC=∠AFM=90°，
∴∠AMF+∠MAC=90°，∠DCF+∠MAC=90°，
∴∠AMF=∠DCF．
在△AFM和△DFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFM=∠DFC}\\{∠AMF=∠DCF}\\{AF=DF}\end{array}\right.$
∴△AFM≌△DFC；

（2）AD⊥MC．
理由如下：
由（1）知，△AFM≌△DFC，
∴FM=FC．
∴△FMC是等腰直角三角形，
∴∠FCM=45°．
∵∠FED=45°，
∴∠FED=∠FCM，
∴DE∥MC．
∵AD⊥DE，
∴AD⊥MC．

點評 本題主要考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)等知識，考查了分析問題與解決問題的能力．