Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，連結(jié)BE，將△ABE沿BE翻折，點(diǎn)A恰好落在AC上的點(diǎn)A處，若AB＝2，則AC的長(zhǎng)度為_____．

Answer 1

【答案】2

【解析】

連接A'D，設(shè)BE與AC交于點(diǎn)M，由翻折知，BE垂直平分AA'，證明△ABM≌△CDA'，推出A'C＝AM，再證明△BAM∽△CAB，設(shè)AM＝A'M＝A'C＝x，則AC＝3x，通過相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等可求出x的值，進(jìn)一步求出AC的長(zhǎng)度．

解：如圖，連接A'D，設(shè)BE與AC交于點(diǎn)M，

由翻折知，BE垂直平分AA'，

∴AB＝A'B＝2，AM＝A'M，AE＝A'E，

∵四邊形ABCD為矩形，

∴AB＝CD，AB∥CD，∠ABC＝90°，

∴∠DCA＝∠BAC，

∵點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，

∴AE＝DE＝A'E，

∴點(diǎn)A，A'，D三點(diǎn)在以AD為直徑的圓上，

∴∠DA'A＝∠DA'C＝90°＝∠AMB，

∴△ABM≌△CDA'（AAS），

∴A'C＝AM，

∴AM＝A'M＝A'C，

∵∠ABC＝∠ANB＝90°，∠BAM＝∠BAM，

∴△BAM∽△CAB，

∴，

設(shè)AM＝A'M＝A'C＝x，則AC＝3x，

∴，

解得，x＝（取正值），

∴3x＝2，

∴AC＝2，

故答案為：2．