分析 (1)已知定點坐標以及拋物線上的點(3,0),利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)解析式;
(2)首先利用待定系數(shù)法求得AC的解析式,設(shè)P的橫坐標是m,利用m可以表示出△ACG的面積,利用函數(shù)的性質(zhì)求得P點坐標;
(3)首先求得G的坐標,然后作GH⊥AC于點H,求得AH和GH的長度,然后求得OD的長,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可解答.
解答 解:(1)設(shè)拋物線的解析式是y=a(x-1)2+4,
把(3,0)代入得:4a+4=0,
解得:a=-1,
則拋物線的解析式是y=-(x-1)2+4,即y=-x2+2x+3;
(2)設(shè)AC的解析式是y=kx+b,根據(jù)題意得:$\left\{\begin{array}{l}{k+b=4}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$,
解得:$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=6}\end{array}\right.$,
則AC的解析式是y=-2x+6.
設(shè)P的坐標是(m,-2m+6),
則S=$\frac{1}{2}$×2×(-m2+2m+3+2m-6)=-m2+4m-3,
則當m=2時,S有最大值.
則當x=2時,y=-4+6=2,則P的坐標是(2,2);
(3)把x=2代入y=-x2+2x+3得y=-4+4+3=3,
則G的坐標是(2,3).
設(shè)經(jīng)過G且垂直于AC的直線的解析式是y=$\frac{1}{2}$x+c,把(2,3)代入得1+c=3,
解得:c=2,
則經(jīng)過G且垂直于AC的直線HG的解析式是y=$\frac{1}{2}$x+2.
根據(jù)題意得:$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+2}\\{y=-2x+6}\end{array}\right.$,
解得:$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{8}{5}}\\{y=\frac{14}{5}}\end{array}\right.$,
則H的坐標是($\frac{8}{5}$,$\frac{14}{5}$).
則QH=$\sqrt{(2-\frac{8}{5})^{2}+(3-\frac{14}{5})^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$,AH=$\sqrt{(\frac{8}{5}-1)^{2}+(4-\frac{14}{5})^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$.
則AH:HQ=3:1.
C(3,0)關(guān)于x=1的對稱點是(-1,0),則與x軸另一交點D的坐標是(-1,),則OD=1,
拋物線y=-x2+2x+3中,當x=0時,y=3,即拋物線與y軸的交點是(0,3).OE=3,
則OE:OD=3:1,
則當Q(0,3)時,△ODE∽△HQA,此時∠GAP+∠QDO=90°;
E關(guān)于x軸的對稱點E′是(0,-3).
設(shè)直線DE′的解析式是y=mx+n,
則$\left\{\begin{array}{l}{-m+n=0}\\{n=-3}\end{array}\right.$,
解得:$\left\{\begin{array}{l}{m=-3}\\{n=-3}\end{array}\right.$,
則直線DE′的解析式是y=-3x-3.
根據(jù)題意得:$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+2x+3}\\{y=-3x-3}\end{array}\right.$,
解得:$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=-2}\end{array}\right.$.
則Q的坐標是(6,-2).
總之,Q的坐標是(0,3)或(6,-2).
點評 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及相似三角形的判定與性質(zhì),注意到:當Q是拋物線與y軸的交點時滿足∠GAP+∠QDO=90°是關(guān)鍵.
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A. | 2,3,5 | B. | 4,5,6 | C. | 11,12,15 | D. | 8,15,17 |
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A. | 1個 | B. | 2個 | C. | 3個 | D. | 4個 |
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