【題目】如圖,已知拋物線m:y=ax2﹣6ax+c(a>0)的頂點A在x軸上,并過點B(0,1),直線n:y=﹣x+與x軸交于點D,與拋物線m的對稱軸l交于點F,過B點的直線BE與直線n相交于點E(﹣7,7).
(1)求拋物線m的解析式;
(2)P是l上的一個動點,若以B,E,P為頂點的三角形的周長最小,求點P的坐標;
(3)拋物線m上是否存在一動點Q,使以線段FQ為直徑的圓恰好經過點D?若存在,求點Q的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=x2﹣x+1;(2)點P坐標為(3,);(3)點Q坐標為(9,4)或(15,16).
【解析】試題分析:(1)拋物線頂點在x軸上則可得出頂點縱坐標為0,將解析式進行配方就可以求出a的值,繼而得出函數解析式;(2)作出B點關于l的對稱點B′,連接EB′交l于點P,如圖所示,,三角形BEP為頂點的三角形的周長最小,再求出直線B′E的解析式,進而得出P點坐標;(3)先求出直線FD的解析式,結合以線段FQ為直徑的圓恰好經過點D這個條件,明確∠FDG=90°,得出直線DG解析式的k值與直線FD解析式的k值乘積為﹣1,利用D點坐標求出直線DG解析式,將點Q坐標用拋物線解析式表示后代入DG直線解析式可求出點Q坐標.
試題解析:(1)∵拋物線y=ax2﹣6ax+c(a>0)的頂點A在x軸上
∴配方得y=a(x﹣3)2﹣9a+1,則有﹣9a+1=0,解得a=
∴A點坐標為(3,0),拋物線m的解析式為y=x2﹣x+1;
(2)∵點B關于對稱軸直線x=3的對稱點B′為(6,1)
∴連接EB′交l于點P,如圖所示
設直線EB′的解析式為y=kx+b,把(﹣7,7)(6,1)代入得
解得,
則函數解析式為y=﹣x+
把x=3代入解得y=,
∴點P坐標為(3,);
(3)∵y=﹣x+與x軸交于點D,
∴點D坐標為(7,0),
∵y=﹣x+與拋物線m的對稱軸l交于點F,
∴點F坐標為(3,2),
求得FD的直線解析式為y=﹣x+,若以FQ為直徑的圓經過點D,可得∠FDQ=90°,則DQ的直線解析式的k值為2,
設DQ的直線解析式為y=2x+b,把(7,0)代入解得b=﹣14,則DQ的直線解析式為y=2x﹣14,
設點Q的坐標為(a,),把點Q代入y=2x﹣14得
=2a﹣14
解得a1=9,a2=15.
∴點Q坐標為(9,4)或(15,16).
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【題目】如圖,O為坐標原點,四邊形OACB是菱形,OB在x軸的正半軸上,sin∠AOB= ,反比例函數y=在第一象限內的圖象經過點A,與BC交于點F,則△AOF的面積等于( 。
A. 60 B. 80 C. 30 D. 40
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【題目】下列各式的計算結果與x2m+2不相等的是( )
A. x2m·x2 B. xm-1·xm+3 C. x1-m·x3m+1 D. xm+2·x2
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【題目】據統(tǒng)計,2017年河南省的夏糧收購總產量為796.24億斤,請用科學記數法表示這個數為( )
A. 7.9624×1010 B. 7.9624×109 C. 79.624×109 D. 0.79624×1011
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【題目】已知a與b互為相反數且都不為零,n為正整數,則下列兩數互為相反數的是( )
A. a2n-1與-b2n-1 B. a2n-1與b2n-1 C. a2n與b2n D. an與bn
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【題目】如圖,已知直線AB//CD,直線EF和直線AB,CD分別交于點B和點D,在直線 EF 上有一動點P.
(1).P點在線段BD上(點P 與點B,D不重合),請證明 :∠PAB+∠PCD=∠APC;
(2).若點P不在線段BD 上,請寫出∠PAB, ∠PCD, ∠APC之間的數量關系,并畫出相關圖形,說明理由.
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【題目】甲、乙兩人在同一直線道路上同起點、同方向、同時出發(fā),分別以不同的速度勻速跑步1500米,當甲超出乙200米時,甲停下來等候乙,甲、乙會合后,兩人分別以原來的速度繼續(xù)跑向終點,先到終點的人在終點休息,在跑步的整個過程中,甲、乙兩人的距離y(米)與乙出發(fā)的時間x(秒)之間的關系如圖所示,則甲到終點時,乙跑了 ______米.
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