【題目】如圖,四邊形OABC是一張放在平面直角坐標系中的矩形紙片,點A在x軸上,點C在y軸上,且線段OA、OC(OA>OC)是方程x2﹣18x+80=0的兩根,將邊BC折疊,使點B落在邊OA上的點D處.
(1)求線段OA、OC的長;
(2)求直線CE與x軸交點P的坐標及折痕CE的長;
(3)是否存在過點D的直線l,使直線CE與x軸所圍成的三角形和直線l、直線CE與y軸所圍成的三角形相似?如果存在,請直接寫出其解析式并畫出相應(yīng)的直線;如果不存在,請說明理由.
【答案】
(1)
解:方程x2﹣18x+80=0,
因式分解得:(x﹣8)(x﹣10)=0,
即x﹣8=0或x﹣10=0,
解得:x1=8,x2=10,
∴OA=10,OC=8
(2)
解:由折疊可知:△EBC≌△EDC,∴EB=ED,
∴CB=CD,又矩形OABC,∴AB=OC=8,
∴CB=CD=OA=10,又OC=8,
在Rt△OCD中,根據(jù)勾股定理得:OD= =6,
∴AD=OA﹣OD=10﹣6=4,
又BE+EA=AB=8,且EB=ED,
∴DE+EA=8,即DE=8﹣EA,
在Rt△AED中,設(shè)AE=x,則DE=8﹣x,又AD=4,
根據(jù)勾股定理得:(8﹣x)2=x2+16,
整理得:16x=48,
解得:x=3,
則E的坐標為(10,3),又C(0,8),
設(shè)直線CE的解析式為y=kx+b,
將C與E坐標代入得: ,
解得:k=﹣ ,b=8,
則直線CE解析式為y=﹣ x+8,
令y=0求出x=16,即P坐標為(16,0);
此時BE=BA﹣EA=8﹣3=5,又BC=OA=10,
在Rt△BCE中,根據(jù)勾股定理得:
CE= =5
(3)
解:存在.滿足條件的直線l有2條:y=﹣2x+12,y=2x﹣12.
如圖2:
【解析】(1.)利用式子相乘法把方程左邊分解為兩一次因式積的形式,然后根據(jù)兩數(shù)相乘積為0,兩數(shù)中至少有一個為0,轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程,分別求出方程的解得到原方程的解,根據(jù)OA大于OC,即可得到OA及OC的長;(2.)由折疊可知三角形EBC與三角形EDC全等,根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等得到EB=ED,CB=CD,又矩形ABCD對邊相等,從而得到CD的長,再由OC的長,利用勾股定理求出OD的長,進而求出AD的長,在直角三角形AED中,設(shè)EA=x,則DE=8﹣x,再由AD的長,利用勾股定理列出關(guān)于x的方程,求出方程的解得到AE的長,即為E的縱坐標,而OA的長即為E的橫坐標,確定出E的坐標,同時得到BE的長,再由BC的長,在直角三角形BCE中,利用勾股定理求出折痕CE的長;
(3.)存在,應(yīng)該有兩條如圖:
①直線BF,根據(jù)折疊的性質(zhì)可知CE必垂直平分BD,那么∠DGP=∠CGF=90°,而∠CFG=∠DPG(都是∠OCP的余角),由此可得出兩三角形相似,那么可根據(jù)B、D兩點的坐標求出此直線的解析式.
②直線DN,由于∠FCO=∠NDO,那么可根據(jù)∠OCE即∠BEC的正切值,求出∠NDO的正切值,然后用OD的長求出ON的值,即可求出N點的坐標,然后根據(jù)N、D兩點的坐標求出直線DN的解析式.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,作AD⊥AB交BC的延長線于點D,作CE⊥AC,且使AE∥BD,連結(jié)DE.
(1)求證:AD=CE.
(2)若DE=3,CE=4,求tan∠DAE的值.
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【題目】如圖,在正方形網(wǎng)格中,每個小正方形的邊長均為1,每個小正方形的頂點稱為格點.請在給出的5×5的正方形網(wǎng)格中,以格點為頂點,畫出兩個三角形,一個三角形的長分別是 、2、 ,另一個三角形的三邊長分別是 、2 、5 .(畫出的兩個三角形除頂點和邊可以重合外,其余部分不能重合)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方形網(wǎng)格中,每個小正方形的邊長均為1,△ABC的三個頂點的位置如圖所示,將△ABC經(jīng)過一次平移后得到△A′B′C′,圖中標出了點B的對應(yīng)點B′.
利用網(wǎng)格點畫圖:
(1)畫出△A′B′C′;
(2)畫出AB邊上的中線CD;
(3)畫出BC邊上的高線AE;
(4)△A′B′C′的面積為 .
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】探究規(guī)律:如圖,已知直線m∥n,A、B為直線n上的兩點,C、P為直線m上的兩點.
(1)請寫出圖中面積相等的各對三角形: .
(2)如果A、B、C為三個定點,點P在m上移動,那么無論P點移動到任何位置總有:與△ABC的面積相等;理由是: .
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,DE⊥AB,DF⊥AC,AE=AF,則下列結(jié)論成立的是( )
A.BD=CD
B.DE=DF
C.∠B=∠C
D.AB=AC
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