【題目】如圖,在ABCD中,AB=4,AD=5,tanA=,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿折線AB﹣BC以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向中點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),過點(diǎn)PPQAB,交折線AD﹣DC于點(diǎn)Q,將線段PQ繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到線段PR,連接QR.設(shè)PQRABCD重疊部分圖形的面積為S(平方單位),點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(秒).

(1)當(dāng)點(diǎn)R與點(diǎn)B重合時(shí),求t的值;

(2)當(dāng)點(diǎn)PBC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí),求線段PQ的長(zhǎng)(用含有t的代數(shù)式表示);

(3)當(dāng)點(diǎn)R落在ABCD的外部時(shí),求St的函數(shù)關(guān)系式;

(4)直接寫出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中,PCD是等腰三角形時(shí)所有的t值.

【答案】(1);(2)(9﹣t);(3)①S =﹣t2+t﹣;②S=﹣t2+8.③S=(9﹣t)2;(4)4或或5或

【解析】

1)根據(jù)題意點(diǎn)R與點(diǎn)B重合時(shí)t+t=4,即可求出t的值;

(2)根據(jù)題意運(yùn)用t表示出PQ即可;

(3)當(dāng)點(diǎn)R落在ABCD的外部時(shí)可得出t的取值范圍,再根據(jù)等量關(guān)系列出函數(shù)關(guān)系式;

(4)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

解:(1)∵將線段PQ繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到線段PR,

PQ=PR,QPR=90°,

∴△QPR為等腰直角三角形.

當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí),AP=t,PQ=PQ=APtanA=t.

∵點(diǎn)R與點(diǎn)B重合,

AP+PR=t+t=AB=4,

解得:t=

(2)當(dāng)點(diǎn)PBC邊上時(shí),4≤t≤9,CP=9﹣t,

tanA=,

tanC=,sinC=,

PQ=CPsinC=(9﹣t).

(3)①如圖1中,當(dāng)<t≤3時(shí),重疊部分是四邊形PQKB.作KMARM.

∵△KBR∽△QAR,

=

=,

KM=t﹣4)=t﹣,

S=SPQR﹣SKBR=×(t)2×(t﹣4)(t﹣)=﹣t2+t﹣

②如圖2中,當(dāng)3<t≤4時(shí),重疊部分是四邊形PQKB.

S=SPQR﹣SKBR=×4×4﹣×t×t=﹣t2+8.

③如圖3中,當(dāng)4<t<9時(shí),重疊部分是PQK.

S=SPQC=××(9﹣t)(9﹣t)=(9﹣t)2

(4)如圖4中,

①當(dāng)DC=DP1=4時(shí),易知AP1=4,t=4.

②當(dāng)DC=DP2時(shí),CP2=2CD=,

BP2=,

t=4+=

③當(dāng)CD=CP3時(shí),t=5.

④當(dāng)CP4=DP4時(shí),CP4=2÷=,

t=9﹣=

綜上所述,滿足條件的t的值為45

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②如圖(d)所示,當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D在等邊BA的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí),其他作法與(3)①相同,①中的結(jié)論是否成立?若不成立,是否有新的結(jié)論?并證明.

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