Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，點D是OB的中點，過點D作AB的垂線交AC的延長線于點F，過點C作⊙O的切線交FD于點E．

（1）求證：CE＝EF；

（2）如果sin∠F＝，EF＝5，求AB的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析 （2）

【解析】

（1）根據切線的性質得：∠1+∠2＝90°，由垂直定義和同圓的半徑相等得：∠A＝∠1，∠2＝∠F，所以CE＝EF；

（2）

根據sin∠F＝，設AD＝3k，AF＝5k，可得FD＝4k，表示DB＝k，AB＝4k，證明△FAD∽△BGD，列比例式得：，即DG＝k，，根據直角三角形的性質得：∠3＝∠4，則得k的值，從而代入AB＝4k＝．

（1）證明：如右圖，連結OC．

∵CE切⊙O于點E，

∴OC⊥CE．

∴∠1+∠2＝90°．

∵FD⊥AB，

∴∠A+∠F＝90°．

又∵OC＝OA，

∴∠A＝∠1．

∴∠2＝∠F．

∴CE＝EF．

（2）∵FD⊥AB，sin∠F＝，

∴設AD＝3k，AF＝5k，可得FD＝4k．

∵D為OB的中點，

∴DB＝k，AB＝4k．

連結CB交FD于點G．

∵AB為⊙O直徑，

∴∠ACB＝∠FCB＝90°．

∴∠F＝∠B．

∵∠FDA＝∠GDB＝90°，

∴△FAD∽△BGD，

∴，即，解得DG＝k，

可得FG＝4k﹣k＝k

∵∠FCB＝90°，

∴∠4+∠F＝∠2+∠3．

∵∠F＝∠2，

∴∠3＝∠4．

∴CE＝EF＝EG．

∵EF＝5，

∴FG＝10．

∴＝10，k＝，

∴AB＝4k＝．