Question

【題目】如圖，直線l：y=﹣3x+3與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，拋物線y=ax2﹣2ax+a+4（a＜0）經(jīng)過點(diǎn)B．

（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）已知點(diǎn)M是拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，并且點(diǎn)M在第一象限內(nèi)，連接AM、BM，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，△ABM的面積為S，求S與m的函數(shù)表達(dá)式，并求出S的最大值；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)S取得最大值時(shí)，動點(diǎn)M相應(yīng)的位置記為點(diǎn)M′．
①寫出點(diǎn)M′的坐標(biāo)；
②將直線l繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到直線l′，當(dāng)直線l′與直線AM′重合時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，直線l′與線段BM′交于點(diǎn)C，設(shè)點(diǎn)B、M′到直線l′的距離分別為d1、d2 ， 當(dāng)d1+d2最大時(shí)，求直線l′旋轉(zhuǎn)的角度（即∠BAC的度數(shù)）．

Answer 1

【答案】
（1）

解：令x=0代入y=﹣3x+3，

∴y=3，

∴B（0，3），

把B（0，3）代入y=ax2﹣2ax+a+4，

∴3=a+4，

∴a=﹣1，

∴二次函數(shù)解析式為：y=﹣x2+2x+3

（2）

解：令y=0代入y=﹣x2+2x+3，

∴0=﹣x2+2x+3，

∴x=﹣1或3，

∴拋物線與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為﹣1和3，

∵M(jìn)在拋物線上，且在第一象限內(nèi)，

∴0＜m＜3，

令y=0代入y=﹣3x+3，

∴x=1，

∴A的坐標(biāo)為（1，0），

由題意知：M的坐標(biāo)為（m，﹣m2+2m+3），

S=S四邊形OAMB﹣S△AOB

=S△OBM+S△OAM﹣S△AOB

= ×m×3+ ×1×（﹣m2+2m+3）﹣ ×1×3

=﹣ （m﹣ ）2+

∴當(dāng)m= 時(shí)，S取得最大值

（3）

解：①由（2）可知：M′的坐標(biāo)為（ ， ）；

②過點(diǎn)M′作直線l1∥l′，過點(diǎn)B作BF⊥l1于點(diǎn)F，

根據(jù)題意知：d1+d2=BF，

此時(shí)只要求出BF的最大值即可，

∵∠BFM′=90°，

∴點(diǎn)F在以BM′為直徑的圓上，

設(shè)直線AM′與該圓相交于點(diǎn)H，

∵點(diǎn)C在線段BM′上，

∴F在優(yōu)弧 上，

∴當(dāng)F與M′重合時(shí)，

BF可取得最大值，

此時(shí)BM′⊥l1，

∵A（1，0），B（0，3），M′（ ， ），

∴由勾股定理可求得：AB= ，M′B= ，M′A= ，

過點(diǎn)M′作M′G⊥AB于點(diǎn)G，

設(shè)BG=x，

∴由勾股定理可得：M′B2﹣BG2=M′A2﹣AG2，

∴ ﹣（ ﹣x）2= ﹣x2，

∴x= ，

cos∠M′BG= = ，

∵l1∥l′，

∴∠BCA=90°，

∠BAC=45°

方法二：過B點(diǎn)作BD垂直于l′于D點(diǎn)，過M點(diǎn)作ME垂直于l′于E點(diǎn)，則BD=d1，ME=d2，

∵S△ABM= ×AC×（d1+d2）

當(dāng)d1+d2取得最大值時(shí)，AC應(yīng)該取得最小值，當(dāng)AC⊥BM時(shí)取得最小值．

根據(jù)B（0，3）和M′（ ， ）可得BM′= ，

∵S△ABM= ×AC×BM′= ，∴AC= ，

當(dāng)AC⊥BM′時(shí)，cos∠BAC= = = ，

∴∠BAC=45°．

【解析】（1）利用直線l的解析式求出B點(diǎn)坐標(biāo)，再把B點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式即可求出a的值；（2）設(shè)M的坐標(biāo)為（m，﹣m2+2m+3），然后根據(jù)面積關(guān)系將△ABM的面積進(jìn)行轉(zhuǎn)化；（3）①由（2）可知m= ，代入二次函數(shù)解析式即可求出縱坐標(biāo)的值；②可將求d1+d2最大值轉(zhuǎn)化為求AC的最小值．