【題目】小明家的房前有一塊矩形的空地,空地上有三棵樹A、B、C,小明想建一個圓形花壇,使三棵樹都在花壇的邊上.

(1)請你幫小明把花壇的位置畫出來(尺規(guī)作圖,不寫作法,保留作圖痕跡).
(2)在△ABC中,AC=4米,∠ABC=45°,試求小明家圓形花壇的半徑長.

【答案】
(1)

解:如圖所示,⊙O即為所求作的圓形花壇的位置;


(2)

解:連接AO,CO,

∵∠ABC=45°,

∴∠AOC=2∠ABC=45°×2=90°,

∵AC=4米,

∴AO= AC= ×4=2 米.

即小明家圓形花壇的半徑長2


【解析】(1)分別作出AB、BC的垂直平分線,相交于一點O,再以點O為圓心,以OA為半徑畫圓,即可得解;(2)連接OA,OC,根據(jù)在同圓或等圓中,同弧所對的圓心角等于圓周角的2倍求出∠AOC的度數(shù)為90°,然后根據(jù)等腰直角三角形直角邊與斜邊的關系求解即可.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解圓周角定理的相關知識,掌握頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上,且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.

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(3)在(2)的條件下,當S取得最大值時,動點M相應的位置記為點M′.
①寫出點M′的坐標;
②將直線l繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到直線l′,當直線l′與直線AM′重合時停止旋轉(zhuǎn),在旋轉(zhuǎn)過程中,直線l′與線段BM′交于點C,設點B、M′到直線l′的距離分別為d1、d2 , 當d1+d2最大時,求直線l′旋轉(zhuǎn)的角度(即∠BAC的度數(shù)).

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