Question

3．如圖，拋物線y=-（x+1）（x-m）交x軸于A，B兩點（A在B的左側(cè)，m＞0），交y軸正半軸于點C，過點C作x軸的平行線交拋物線于另一點E，拋物線的對稱軸交CE于點F，以C為圓心畫圓，使⊙C經(jīng)過點（0，2）．

（1）直接寫出OB，OC的長．（均用含m的代數(shù)式表示）
（2）當m＞2時，判斷點E與⊙C的位置關(guān)系，并說明理由．
（3）當拋物線的對稱軸與⊙C相交時，其中下方的交點為D．連結(jié)CD，BD，BC．
①當m＞3，且C，D，B三點在同一直線上時，求m的值．
②當△BCD是以CD為腰的等腰三角形時，求m的值．（直接寫出答案即可）

Answer 1

分析 （1）由拋物線y=-（x+1）（x-m）可知A（-1，0），B（m，0），得出OB=m，令x=0，求得y=m，得出OC=m；
（2）根據(jù)拋物線的對稱性求得CE=m-1，因為⊙C經(jīng)過點（0，2），所以⊙C的半徑為m-2，根據(jù)m-2＜m-1，即可判定點E在⊙C外；
（3）①先證得△BOC是等腰直角三角形，進而證得△CDF是等腰直角三角形，得出CD=$\sqrt{2}$CF，即m-2=$\sqrt{2}$•$\frac{m-1}{2}$，解得m=3+$\sqrt{2}$；
②由CD=m-2，CF=$\frac{m-1}{2}$，根據(jù)勾股定理FD=$\sqrt{C{D}^{2}-C{F}^{2}}$=$\sqrt{\frac{（3m-5）（m-3）}{4}}$，得出DG=m-$\sqrt{\frac{（3m-5）（m-3）}{4}}$，根據(jù)CD=DB，得出D在直線BC的垂直平分線上，根據(jù)OB=OC=m，得出直線BC的垂直平分線為y=x，代入D（$\frac{m-1}{2}$，m-$\sqrt{\frac{（3m-5）（m-3）}{4}}$），整理得出m²-8m+7=0，解得m₁=1，m₂=7．

解答 解：（1）由拋物線y=-（x+1）（x-m）可知A（-1，0），B（m，0），
∴OB=m，
令x=0，求得y=m，
∴C（0，m），
∴OC=m；
（2）∵OA=1，OB=m，
∴CE=m-1，
∵⊙C經(jīng)過點（0，2），
∴⊙C的半徑為m-2，
∵m-2＜m-1，
∴點E在⊙C外；
（3）①∵OB=OC=m，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∴∠OCB=45°，
∴∠BCE=45°，
∵C，D，B三點在同一直線上，
∴△CDF是等腰直角三角形，
∴CD=$\sqrt{2}$CF，即m-2=$\sqrt{2}$•$\frac{m-1}{2}$，
解得m=3+$\sqrt{2}$；
②∵CD=m-2，CF=$\frac{m-1}{2}$，
∴FD=$\sqrt{C{D}^{2}-C{F}^{2}}$=$\sqrt{\frac{（3m-5）（m-3）}{4}}$，
∴D（$\frac{m-1}{2}$，m-$\sqrt{\frac{（3m-5）（m-3）}{4}}$），
∵△BCD是以CD為腰的等腰三角形，
∴D在直線BC的垂直平分線上，
∵OB=OC=m，
∴直線BC的垂直平分線為y=x，
把D（$\frac{m-1}{2}$，m-$\sqrt{\frac{（3m-5）（m-3）}{4}}$）代入得，$\frac{m-1}{2}$=m-$\sqrt{\frac{（3m-5）（m-3）}{4}}$，
整理得m²-8m+7=0，解得m₁=1，m₂=7，
∴當△BCD是以CD為腰的等腰三角形時，m的值為1或7．

點評 本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，直線和圓的位置關(guān)系，等腰三角形的判定等，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．