Question

12．如圖所示，在三角形ABC中，G為BC上一動點，∠DBF=∠DEF，∠BDG=∠BGD，DG平分∠BDE．
（1）如圖①，當(dāng)G點在BF上時，求證：BD∥EF；
（2）如圖②，當(dāng)G在CF上時，連接GE，若∠DEG=3∠FEG，∠DGE=60°，則∠CGE的度數(shù)為45°；
（3）如圖③，在（1）的條件下，若DM平分∠BDG，交BC于點M，DN平分∠ADM，交BC于點N，若∠BND=15°，求∠B的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）先判定DE∥BG，得出∠B+∠BDE=180°，再根據(jù)∠B=∠DEF，得到∠DEF+∠BDE=180°，進(jìn)而得出BD∥EF；
（2）設(shè)∠FEG=α，則∠DEG=3∠FEG=3α，∠DEF=2α=∠B，根據(jù)DE∥BC，得到∠DGB=∠EDG=120°-3α=∠BDG，再根據(jù)△DBG中，∠B+∠BDG+∠BGD=180°，列出方程2α+（120°-3α）+（120°-3α）=180°，解得α=15°，最后根據(jù)DE∥BC，求得∠CGE=∠DEF=45°即可；
（3）設(shè)∠B=β，根據(jù)DE∥BC，得到∠ADE=β，∠EDN=∠BND=15°，∠ADN=β+15°，再根據(jù)DN平分∠ADM，求得∠MDN=β+15°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，得到∠BDG=∠BGD=$\frac{180°-∠B}{2}$=90°-$\frac{1}{2}$β，而DM平分∠BDG，進(jìn)而得到∠DMN=∠BDM+∠B=45°-$\frac{1}{4}$β+β=45°+$\frac{3}{4}$β，最后根據(jù)△MDN中，∠MDN+∠DMN+∠DNM=180°，列出方程（β+15°）+（45°+$\frac{3}{4}$β）+15°=180°，解得β=60°即可．

解答 解：（1）∵∠BDG=∠BGD，DG平分∠BDE，
∴∠BGD=∠EDG，
∴DE∥BG，
∴∠B+∠BDE=180°，
又∵∠B=∠DEF，
∴∠DEF+∠BDE=180°，
∴BD∥EF；

（2）設(shè)∠FEG=α，則∠DEG=3∠FEG=3α，∠DEF=2α=∠B，
∵∠DGE=60°，
∴△DEG中，∠EDG=180°-3α-60°=120°-3α，
∵DE∥BC，
∴∠DGB=∠EDG=120°-3α=∠BDG，
∵△DBG中，∠B+∠BDG+∠BGD=180°，
2α+（120°-3α）+（120°-3α）=180°，
解得α=15°，
∴∠DEG=45°，
∵DE∥BC，
∴∠CGE=∠DEF=45°，
故答案為：45°；

（3）設(shè)∠B=β，
∵DE∥BC，
∴∠ADE=β，∠EDN=∠BND=15°，
∴∠ADN=β+15°，
∵DN平分∠ADM，
∴∠MDN=β+15°，
又∵△BDG中，∠BDG=∠BGD=$\frac{180°-∠B}{2}$=90°-$\frac{1}{2}$β，而DM平分∠BDG，
∴∠BDM=$\frac{1}{2}$∠BDG=45°-$\frac{1}{4}$β，
∴∠DMN=∠BDM+∠B=45°-$\frac{1}{4}$β+β=45°+$\frac{3}{4}$β，
∵△MDN中，∠MDN+∠DMN+∠DNM=180°，
∴（β+15°）+（45°+$\frac{3}{4}$β）+15°=180°，
解得β=60°，
∴∠B的度數(shù)為60°．

點評 本題屬于三角形綜合題，主要考查了平行線的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180°，列出方程進(jìn)行求解．解題時注意方程思想的靈活運用．