Question

【題目】如圖，直線y=﹣ x+6分別與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)，直線y= x與AB交于點(diǎn)C，與過點(diǎn)A且平行于y軸的直線交于點(diǎn)D，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿x軸向左運(yùn)動，過點(diǎn)E作x軸的垂線，分別交直線AB、OD于P、Q兩點(diǎn)，以PQ為邊向右作正方形PQMN．設(shè)正方形PQMN與△ACD重疊部分（陰影部分）的面積為S（平方單位），點(diǎn)E的運(yùn)動時間為ts（t＞0）．

（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)0＜t＜5時，求S的最大值；
（3）當(dāng)t在何范圍時，點(diǎn)（4， ）被正方形PQMN覆蓋？請直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意，得 ，

解得： ，

∴C（3， ）

（2）

解：∵直線y=﹣ x+6分別與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)，

∴y=0時，0=﹣ x+6，解得；x=8，

∴A點(diǎn)坐標(biāo)為；（8，0），

根據(jù)題意，得AE=t，OE=8﹣t．

∴點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為 （8﹣t），點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為﹣ （8﹣t）+6= t，

∴PQ= （8﹣t）﹣ t=10﹣2t．

當(dāng)MN在AD上時，10﹣2t=t，

∴t= ．

當(dāng)0＜t≤ 時，S=t（10﹣2t），即S=﹣2t2+10t=﹣2（t﹣ ）2+ ，S有最大值為 ．

當(dāng) ＜t＜5時，S=（10﹣2t）2，即S=4t2﹣40t+100=4（t﹣5）2，

∵t＜5時，S隨t的增大而減小，

∴t= 時，S最大值= ，

∵ ＞ ，

∴S的最大值為

（3）

解：當(dāng)t=5時，PQ=0，P，Q，C三點(diǎn)重合；

當(dāng)t＜5時，知OE=4時是臨界條件，即8﹣t=4

即t=4

∴點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為5＞ ，

點(diǎn)（4， ）在正方形邊界PQ上，E繼續(xù)往左移動，則點(diǎn)（4， ）進(jìn)入正方形內(nèi)部，但點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)再減少，當(dāng)Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 時，OE= ，

∴8﹣t= ，解得：t= ，

此時OE+PN= +PQ= +（10﹣2t）= ＞4滿足條件，

∴4＜t＜ ，

當(dāng)t＞5時，由圖和條件知，則有E（t﹣8，0），PQ=2t﹣10要滿足點(diǎn)（4， ）在正方形的內(nèi)部，

則臨界條件N點(diǎn)橫坐標(biāo)為44=PQ+OE=|2t﹣10|+|t﹣8|=3t﹣18

即t=6，此時Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：﹣ ×2+6= ＞ ．滿足條件，

∴t＞6．

綜上所述：4≤t≤ 或t≥6時，點(diǎn)（4， ）被正方形PQMN覆蓋．

【解析】（1）簡單求兩直線的交點(diǎn)，得點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）求得S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；配方，即可求得二次函數(shù)的最大值，即可得出S的最大值；（3）求出定點(diǎn)在正方形PQMN內(nèi)部時，t的范圍，即可得出點(diǎn)（4， ）被正方形PQMN覆蓋時t的取值范圍．要用到分類討論．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的最值的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值（或最小值），即當(dāng)x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a才能正確解答此題．