【題目】如圖,在邊長為8的正方形ABCD中,點O為AD上一動點(4<OA<8),以O為圓心,OA的長為半徑的圓交邊CD于點M,連接OM,過點M作⊙O的切線交邊BC于N.
(1)求證:△ODM∽△MCN;
(2)設DM=x,OA=R,求R關于x的函數(shù)關系式;
(3)在動點O逐漸向點D運動(OA逐漸增大)的過程中,△CMN的周長如何變化?說明理由.
【答案】(1)存在△MCN與△ODM相似,證明見矩形;
(2)R=;
(3)△CMN的周長是一個定值,理由見解析.
【解析】試題分析:(1)根據(jù)切線的性質(zhì)得出∠OMN=90,從而證得∠OMD=∠MNC;則△ODM∽△MCN;
(2)由DM=x,設OA=OM=R;則得出OD,由勾股定理得R與x的關系;
(3)可分為兩種解法得出答案.由△ODM∽△MCN,得,用含x的式子表示出CN,MN,從而得出△CMN的周長是一個定值.
試題解析:(1)存在△MCN與△ODM相似,證明如下:
∵MN切⊙O于點M,∴∠OMN=90°,∵∠OMD+∠CMN=90°,∠CMN+∠CNM=90°,∴∠OMD=∠MNC,又∵∠D=∠C=90°,∴△ODM∽△MCN.
(2)在Rt△ODM中,DM=x,設OA=OM=R,∴OD=AD﹣OA=8﹣R,由勾股定理得:(8﹣R)2+x2=R2,
∴64﹣16R+R2+x2=R2,∴R=.
(3)∵CM=CD﹣DM=8﹣x,OD=8﹣R=8﹣,且有△ODM∽△MCN,∴,∴代入得到:CN=.
同理,∴代入得到:MN=,∴△CMN的周長=CM+CN+MN=(8﹣x)++=(8﹣x)+(x+8)=16,
在點O的運動過程中,△CMN的周長始終為16,是一個定值.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系xOy中,直線y1=2x與雙曲線y2= 的圖象如圖所示,小明說:“滿足y1<y2的x的取值范圍是x<﹣1.”你同意他的觀點嗎? 答: . 理由是 .
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,奧運福娃在5×5的方格(每小格邊長為1 m)上沿著網(wǎng)格線運動.貝貝從A處出發(fā)去尋找B、C、D處的其他福娃,規(guī)定:向上向右走為正,向下向左走為負.如果從A到B記為:A·B(+1,+4),從B到A記為:B·A(-1,-4),其中第一個數(shù)表示左右方向,第二個數(shù)表示上下方向,那么圖中:
(1)A·C(__________,__________),B·C(__________,__________),C·__________(-3,-4);
(2)若貝貝從A處去尋找妮妮的行走路線依次為(+2,+2),(+2,-1),(-2,+3),(-1,-2),請在圖中標出妮妮的位置點E.
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【題目】年,德國數(shù)學家格奧爾格康托爾引入位于一條線段上的一些點的集合,他的做法如下:
取一條長度為的線段,將它三等分,去掉中間一段,余下兩條線段,達到第階段;將剩下的兩條線段再分別三等分.各去掉中間一段,余下四條線段,達到第階段;再將剩下的四條線段,分別三等分,各去掉中間一段,余下八條線段,達到第線段; ;這樣的操作一直繼續(xù)下去,在不斷分割舍棄的過程中,所形成的線段數(shù)目越來越多,把這種分形,稱做康托爾點集.下圖是康托爾點集的最初幾個階段,當達到個階段時(為正整數(shù)),的線段的長度之和為__________.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,C是AB延長線上一點,CD與⊙O相切于點E,AD⊥CD于點D.
(1)求證:AE平分∠DAC;
(2)若AB=4,∠ABE=60°,求出圖中陰影部分的面積.
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【題目】若m為大于0的整數(shù),則(m+1)2-(m-1)2一定是( ).
A.3的倍數(shù)B.4的倍數(shù)C.6的倍數(shù)D.16的倍數(shù)
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【題目】2017年6月17日北京國際自行車大會召開,來自世界各地的4000多名騎游愛好者齊聚夏都延慶.各種自行車賽事也帶動了延慶的騎游產(chǎn)業(yè).據(jù)調(diào)查,延慶區(qū)某騎游公司每月的租賃自行車數(shù)的增長率相同,今年四月份的騎游人數(shù)約為9000人,六月份的騎游人數(shù)約為16000人,求該騎游公司租賃自行車數(shù)的月平均增長率(精確到0.01).
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