Question

5．如圖，二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A（6，0）和點(diǎn)B（2，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，2$\sqrt{3}$），⊙P經(jīng)過點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）求圓心P的坐標(biāo)；
（3）二次函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象上是否存在點(diǎn)Q，使得以P、Q、A、B四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)并證明所說(shuō)的四邊形是平行四邊形；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A（6，0）和點(diǎn)B（2，0），首先設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=a（x-6）（x-2），然后將點(diǎn)C（0，2$\sqrt{3}$）代入，即可求得二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）首先過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，由垂徑定理即可求得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，然后設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，y），由PB=PC，可得方程4²+（y-2$\sqrt{3}$）²=2²+y²，解此方程即可求得答案；
（3）首先過點(diǎn)P作PQ∥x軸，交二次函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象上點(diǎn)Q，即可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)，證得PQ=AB，可得四邊形ABPQ是平行四邊形，又由PB=AB=4，證得四邊形ABPQ是菱形．

解答 解：（1）設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=a（x-6）（x-2），
∵二次函數(shù)與y軸交于點(diǎn)C（0，2$\sqrt{3}$），
∴12a=2$\sqrt{3}$，
解得：a=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
∴y=$\frac{\sqrt{3}}{6}$（x-6）（x-2）=$\frac{\sqrt{3}}{6}$x²-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x+2$\sqrt{3}$；

（2）如圖1，過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，
∴AD=BD，
∵點(diǎn)A（6，0）和點(diǎn)B（2，0），
∴AB=6-2=4，
∴BD=AD=2，
∴OD=OB+BD=4，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，y），
∵⊙P經(jīng)過點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)，C（0，2$\sqrt{3}$），
∴PC=PB，
∴4²+（y-2$\sqrt{3}$）²=2²+y²，
解得：y=2$\sqrt{3}$，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（4，2$\sqrt{3}$）；

（3）存在．
如圖2，過點(diǎn)P作PQ∥x軸，交二次函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象上點(diǎn)Q，
則此時(shí)Q的縱坐標(biāo)為2$\sqrt{3}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{6}$x²-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x+2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，
解得：x=8，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：（8，2$\sqrt{3}$），
且PQ=AB=4，
∴四邊形ABPQ是平行四邊形，
∵PB=AB=4，
∴四邊形ABPQ是菱形．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、垂徑定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)以及菱形的判定等知識(shí)．注意準(zhǔn)確作出輔助線，利用方程思想求解是解此題的關(guān)鍵．