Question

10．如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為5的正方形，點(diǎn)G是BC上的一點(diǎn)，DE⊥AG于點(diǎn)E，BF∥DE，且交AG于點(diǎn)F．若E是AF的中點(diǎn)，則BF的長(zhǎng)為$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AD=AB，∠BAD=90°，根據(jù)垂直的定義推出∠ADE=∠BAF，根據(jù)平行線的性質(zhì)和等量代換得到∠AFB=∠DEG=∠AED．證得△ABF≌△DAE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BF=AE，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠AFB=90°，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論．

解答 解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠BAD=90°，
∵DE⊥AG，
∴∠DEM=∠AED=90°，
∴∠ADE+∠DAE=90°，
又∵∠BAF+∠DAE=∠BAD=90°，
∴∠ADE=∠BAF．
∵BF∥DE，
∴∠AFB=∠DEG=∠AED，
在△ABF與△DAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFB=∠AED}\\{∠ADE=∠BAF}\\{AD=AB}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴BF=AE，
∵BF∥DE，∠AED=90°
∴∠AFB=90°，
∵E是AF的中點(diǎn)，
∴AE=EF，
又∵BF=AE，
∴BF=EF=AE，
設(shè)BF為x，則AF為2x，
∵AB²=AF²+BF²，
∴5²=（2x）²+x²，
解得x=±$\sqrt{5}$（舍去-$\sqrt{5}$），
∴BF=$\sqrt{5}$，
故答案為：$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查學(xué)生對(duì)正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定的掌握情況，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法以及正方形的各種有關(guān)性質(zhì)．