【題目】如圖,直線(xiàn)x=-4與x軸交于點(diǎn)E,一開(kāi)口向上的拋物線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)交線(xiàn)段OE于點(diǎn)A,交直線(xiàn)x=-4于點(diǎn)B,過(guò)B且平行于x軸的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)C,直線(xiàn)OC交直線(xiàn)AB于D,且AD:BD=1:3.

(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo);

(2)若OBC是等腰三角形,求此拋物線(xiàn)的函數(shù)關(guān)系式.

【答案】(1點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,0)。

(2)此拋物線(xiàn)的函數(shù)關(guān)系式為

【解析】

(1)過(guò)點(diǎn)D作DFx軸于點(diǎn)F,由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知OF=AF,則2AF+AE=4,由DFBE,得到ADF∽△ABE,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出 ,即AE=2AF,聯(lián)立組成二元一次方程組,解出AE=2,AF=1,進(jìn)而得到點(diǎn)A的坐標(biāo)。

(2)先由拋物線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)(0,0),設(shè)此拋物線(xiàn)的交點(diǎn)式為,再根據(jù)拋物線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)(0,0)和A點(diǎn)(2,0),求出對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=-1,則由B點(diǎn)橫坐標(biāo)為-4得出C點(diǎn)橫坐標(biāo)為2,BC=6.再由OB>OC,可知當(dāng)OBC是等腰三角形時(shí),可分兩種情況討論:當(dāng)OB=BC時(shí),設(shè)B(4,y1),列出方程,解方程求出y1的值,將B點(diǎn)坐標(biāo)代入,運(yùn)用待定系數(shù)法求出此拋物線(xiàn)的解析式;當(dāng)OC=BC時(shí),設(shè)C(2,y2),列出方程,解方程求出y2的值,將C點(diǎn)坐標(biāo)代入,運(yùn)用待定系數(shù)法求出此拋物線(xiàn)的解析式。

解:(1)如圖,過(guò)點(diǎn)D作DFx軸于點(diǎn)F,

由題意,可知OF=AF,則2AF+AE=4。

DFBE,∴△ADF∽△ABE。

,即AE=2AF。

聯(lián)立,解得AE=2,AF=1。

點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,0)。

(2)拋物線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)(0,0)和點(diǎn)A(-2,0),

可設(shè)此拋物線(xiàn)的解析式為,且對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=-1。

B、C兩點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)x=-1對(duì)稱(chēng),B點(diǎn)橫坐標(biāo)為-4,C點(diǎn)橫坐標(biāo)為2。

BC=2-(-4)=6。

拋物線(xiàn)開(kāi)口向上,∴∠OAB>90°,OB>AB=OC。

當(dāng)OBC是等腰三角形時(shí),分兩種情況討論:

當(dāng)OB=BC時(shí),設(shè)B(-4,y1),則,解得(負(fù)值舍去)。

B(-4,)。

將B(-4,)代入,得,解得。

此拋物線(xiàn)的解析式為,即。

當(dāng)OC=BC時(shí),設(shè)C(2,y2),則,解得(負(fù)值舍去)。

C(2,)。

將A C(2,)代入,得得,解得。

此拋物線(xiàn)的解析式為,即

綜上所述,若OBC是等腰三角形,此拋物線(xiàn)的函數(shù)關(guān)系式為。

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乙廠:,,,,,

丙廠:,,,,,,

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