【題目】如圖1,直線PQ的同側(cè)有兩點(diǎn)M,N,點(diǎn)T在直線PQ上,若∠MTP=∠NTQ,則稱點(diǎn)M,N為關(guān)于直線PQ的衍射點(diǎn).如圖2,BD是矩形ABCD的對角線,E是邊BC延長線上的一點(diǎn),且CE=BC,連接AE交CD于點(diǎn)F,交BD于點(diǎn)P,連接BF,CP.
(1)求證:點(diǎn)A,B是關(guān)于直線CD的衍射點(diǎn).
(2)若點(diǎn)C,F是關(guān)于直線BD的衍射點(diǎn),CP=2PF=2,求AB的長.
【答案】(1)見解析(2)6
【解析】
(1)由矩形的性質(zhì)得∠BCD=90°,因?yàn)?/span>BC=CE,可得FB=FE,故可得∠BFC=∠EFC,,再由∠AFD=∠EFC可得∠AFD=∠BFC進(jìn)而得到結(jié)論;
(2)首先證明△ADF≌△ECF得出F點(diǎn)是DC的中點(diǎn),再證明△DPF∽△BPA求得,進(jìn)而得出AP=CP,再證明△ABP≌△CBP得出AB=BC, 作PQ⊥AB,垂足為點(diǎn)Q,運(yùn)用勾股定理求出AQ的長以及BQ的長,從而可得AB的長.
∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠BCD=90°,
∵BC=CE,
∴FC垂直平分BE,
∴BF=EF,
∴∠BFC=∠EFC,
∵∠AFD=∠EFC,
∴∠AFD=∠BFC,
∴點(diǎn)A,B是關(guān)于直線CD的衍射點(diǎn);
(2)∵BC=CE,
又∵BC=AD,
∴CE=AD
在△ADF和△ECF中,
∴△ADF≌△ECF,
∴DF=CF=,
∵DF∥AB,
∴△DPF∽△BPA
∴,即
∴,
∵,
∴AP=CP,
又∵點(diǎn)C,F是關(guān)于直線BD的衍射點(diǎn),
∴∠BPC=∠DPF,
∵∠DPF=∠APB,
∴∠BPC=∠APB,
∵AP=PC,BP=BP,
∴△ABP≌△CBP,
∴∠ABP=∠CBP,AB=BC,
又∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠ABC=90°,
∴∠ABP=,
作PQ⊥AB,垂足為點(diǎn)Q,
在Rt△BPQ中,BQ=PQ,
設(shè)BQ=x,∴PQ=x,
∵,
∴,即,
∴AQ=x,
在Rt△APQ中,,
∴
解得,
∴BQ=4,AQ=2,
∴AB=BQ+AB=4+2=6.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為弘揚(yáng)中華傳統(tǒng)文化,黔南州近期舉辦了中小學(xué)生“國學(xué)經(jīng)典大賽”.比賽項目為:A.唐詩;B.宋詞;C.論語;D.三字經(jīng).比賽形式分“單人組”和“雙人組”.
(1)小麗參加“單人組”,她從中隨機(jī)抽取一個比賽項目,恰好抽中“三字經(jīng)”的概率是多少?
(2)小紅和小明組成一個小組參加“雙人組”比賽,比賽規(guī)則是:同一小組的兩名隊員的比賽項目不能相同,且每人只能隨機(jī)抽取一次,則恰好小紅抽中“唐詩”且小明抽中“宋詞”的概率是多少?請用畫樹狀圖或列表的方法進(jìn)行說明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,平臺AB上有一棵直立的大樹CD,平臺的邊緣B處有一棵直立的小樹BE,平臺邊緣B外有一個向下的斜坡BG.小明想利用數(shù)學(xué)課上學(xué)習(xí)的知識測量大樹CD的高度.一天,他發(fā)現(xiàn)大樹的影子一部分落在平臺CB上,一部分落在斜坡上,而且大樹的頂端D與小樹頂端E的影子恰好重合,且都落在斜坡上的F處,經(jīng)測量,CB長5米,BF長2米,小樹BE高1.8米,斜坡BG與平臺AB所成的∠ABG=150°.請你幫小明求出大樹CD的高度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為弘揚(yáng)傳統(tǒng)文化,某校開展了“傳承經(jīng)典文化,閱讀經(jīng)典名著”活動.為了解七、八年級學(xué)生(七、八年級各有600名學(xué)生)的閱讀效果,該校舉行了經(jīng)典文化知識競賽.現(xiàn)從兩個年級各隨機(jī)抽取20名學(xué)生的競賽成績(百分制)進(jìn)行分析,過程如下:
收集數(shù)據(jù):
七年級:79,85,73,80,75,76,87,70,75,94,75,79,81,71,75,80,86,59,83,77.
八年級:92,74,87,82,72,81,94,83,77,83,80,81,71,81,72,77,82,80,70,41.
整理數(shù)據(jù):
七年級 | 0 | 1 | 0 | a | 7 | 1 |
八年級 | 1 | 0 | 0 | 7 | b | 2 |
分析數(shù)據(jù):
平均數(shù) | 眾數(shù) | 中位數(shù) | |
七年級 | 78 | 75 | |
八年級 | 78 | 80.5 |
應(yīng)用數(shù)據(jù):
(1)由上表填空:a= ,b= ,c= ,d= .
(2)估計該校七、八兩個年級學(xué)生在本次競賽中成績在90分以上的共有多少人?
(3)你認(rèn)為哪個年級的學(xué)生對經(jīng)典文化知識掌握的總體水平較好,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,反比例函數(shù)y=(x>0)與直線AB交于點(diǎn)A(2,3),直線AB與x軸交于點(diǎn)B(4,0),過點(diǎn)B作x軸的垂線BC交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)C,在平面內(nèi)有點(diǎn)D,使得以A,B,C,D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形,則平行四邊形ABCD的面積為____________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=4,BC=2,點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn),P為AB上一點(diǎn),連接PE,過點(diǎn)E作PE的垂線交射線AD于點(diǎn)Q,連接PQ,設(shè)AP的長為t.
(1)用含t的代數(shù)式表示AQ的長;
(2)若△PEQ的面積等于10,求t的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線經(jīng)過原點(diǎn),頂點(diǎn)為,且與直線相交于兩點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式;
(2)求、兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)若點(diǎn)為軸上的一個動點(diǎn),過點(diǎn)作軸與拋物線交于點(diǎn),則是否存在以為頂點(diǎn)的三角形與相似?若存在,請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過三點(diǎn)(1,0),(-6,0)(0,-3).
(1)求該二次函數(shù)的解析式.
(2)若反比例函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)A(),落在兩個相鄰的正整數(shù)之間,請求出這兩個相鄰的正整數(shù).
(3)若反比例函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為B,點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為m,且滿足3<m<4,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,吊車在水平地面上吊起貨物時,吊繩BC與地面保持垂直,吊臂AB與水平線的夾角為64°,吊臂底部A距地面1.5m.
(1)當(dāng)?shù)醣鄣撞?/span>A與貨物的水平距離AC為5m時,求吊臂AB的長;
(2)如果該吊車吊臂的最大長度AD為20m,那么從地面上吊起貨物的最大高度是多少?(吊鉤的長度與貨物的高度忽略不計,計算結(jié)果精確到0.1m,參考數(shù)據(jù):sin64°≈0.90,cos64°≈0.44,tan64°≈2.05)
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