Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y=ax2+4x+c與y軸交于點(diǎn)A（0，5），與x軸交于點(diǎn)E，B，點(diǎn)B坐標(biāo)為（5，0）．

（1）求二次函數(shù)解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）過(guò)點(diǎn)A作AC平行于x軸，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)C，點(diǎn)P為拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)（點(diǎn)P在AC上方），作PD平行于y軸交AB于點(diǎn)D，問(wèn)當(dāng)點(diǎn)P在何位置時(shí)，四邊形APCD的面積最大？并求出最大面積．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+4x+5，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，9）；（2）當(dāng)P（， ）時(shí)，S有最大值為．

【解析】試題分析：（1）用待定系數(shù)法求拋物線(xiàn)解析式，并利用配方法求頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）先求出直線(xiàn)AB解析式，設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)（x，-x2+4x+5），建立函數(shù)關(guān)系式S四邊形APCD=-2x2+10x，根據(jù)二次函數(shù)求出極值；可得P的坐標(biāo)．

試題解析：（1）把點(diǎn)A（0，5），點(diǎn)B坐標(biāo)為（5，0）代入拋物線(xiàn)y=ax2+4x+c中，
得： ，解得： ，

∴拋物線(xiàn)的解析式為：y=-x2+4x+5=-（x-2）2+9，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，9）；
（2）設(shè)直線(xiàn)AB的解析式為：y=mx+n，
∵A（0，5），B（5，0），
∴，
解得： ，

∴直線(xiàn)AB的解析式為：y=-x+5，
設(shè)P（x，-x2+4x+5），則D（x，-x+5），
∴PD=（-x2+4x+5）-（-x+5）=-x2+5x，
∵點(diǎn)C在拋物線(xiàn)上，且縱坐標(biāo)為5，
∴C（4，5），
∴AC=4，
∴S四邊形APCD=ACPD=×4（-x2+5x）=-2x2+10x=-2（x-）2+，
∵-2＜0，
∴S有最大值，
∴當(dāng)x=時(shí)，S有最大值為，
此時(shí)P（， ）．