【題目】(2016浙江省舟山市第23題)我們定義:有一組鄰角相等的凸四邊形叫做“等鄰角四邊形”
(1)概念理解:
請你根據(jù)上述定義舉一個(gè)等鄰角四邊形的例子;
(2)問題探究;
如圖1,在等鄰角四邊形ABCD中,∠DAB=∠ABC,AD,BC的中垂線恰好交于AB邊上一點(diǎn)P,連結(jié)AC,BD,試探究AC與BD的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
(3)應(yīng)用拓展;
如圖2,在Rt△ABC與Rt△ABD中,∠C=∠D=90°,BC=BD=3,AB=5,將Rt△ABD繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α(0°<∠α<∠BAC)得到Rt△AB′D′(如圖3),當(dāng)凸四邊形AD′BC為等鄰角四邊形時(shí),求出它的面積.
【答案】(1)、矩形或正方形;(2)、AC=BD,理由見解析;(3)、10或12﹣.
【解析】
試題分析:(1)、矩形或正方形鄰角相等,滿足“等鄰角四邊形”條件;(2)、AC=BD,理由為:連接PD,PC,如圖1所示,根據(jù)PE、PF分別為AD、BC的垂直平分線,得到兩對角相等,利用等角對等角得到兩對角相等,進(jìn)而確定出∠APC=∠DPB,利用SAS得到三角形ACB與三角形DPB全等,利用全等三角形對應(yīng)邊相等即可得證;(3)、分兩種情況考慮:(i)當(dāng)∠AD′B=∠D′BC時(shí),延長AD′,CB交于點(diǎn)E,如圖3(i)所示,由S四邊形ACBD′=S△ACE﹣S△BED′,求出四邊形ACBD′面積;(ii)當(dāng)∠D′BC=∠ACB=90°時(shí),過點(diǎn)D′作D′E⊥AC于點(diǎn)E,如圖3(ii)所示,由S四邊形ACBD′=S△AED′+S矩形ECBD′,求出四邊形ACBD′面積即可.
試題解析:(1)、矩形或正方形;
(1)、AC=BD,理由為:連接PD,PC,如圖1所示:
∵PE是AD的垂直平分線,PF是BC的垂直平分線, ∴PA=PD,PC=PB, ∴∠PAD=∠PDA,∠PBC=∠PCB,
∴∠DPB=2∠PAD,∠APC=2∠PBC,即∠PAD=∠PBC, ∴∠APC=∠DPB, ∴△APC≌△DPB(SAS), ∴AC=BD;
(3)、分兩種情況考慮:
(i)當(dāng)∠AD′B=∠D′BC時(shí),延長AD′,CB交于點(diǎn)E, 如圖3(i)所示,
∴∠ED′B=∠EBD′, ∴EB=ED′, 設(shè)EB=ED′=x, 由勾股定理得:42+(3+x)2=(4+x)2, 解得:x=4.5,
過點(diǎn)D′作D′F⊥CE于F, ∴D′F∥AC, ∴△ED′F∽△EAC, ∴,即,
解得:D′F=,
∴S△ACE=AC×EC=×4×(3+4.5)=15;S△BED′=BE×D′F=×4.5×=,
則S四邊形ACBD′=S△ACE﹣S△BED′=15﹣=10;
(ii)當(dāng)∠D′BC=∠ACB=90°時(shí),過點(diǎn)D′作D′E⊥AC于點(diǎn)E, 如圖3(ii)所示,
∴四邊形ECBD′是矩形, ∴ED′=BC=3, 在Rt△AED′中,根據(jù)勾股定理得:AE=,
∴S△AED′=AE×ED′=××3=,S矩形ECBD′=CE×CB=(4﹣)×3=12﹣3,
則S四邊形ACBD′=S△AED′+S矩形ECBD′=+12﹣3=12﹣.
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