【題目】如圖,拋物線y=ax2+2x﹣3x軸交于A、B兩點,且B(1,0)

(1)求拋物線的解析式和點A的坐標;

(2)如圖1,點P是直線y=x上的動點,當直線y=x平分∠APB時,求點P的坐標;

3)如圖2,已知直線y=x分別與x軸、y軸交于C、F兩點,點Q是直線CF下方的拋物線上的一個動點,過點Qy軸的平行線,交直線CF于點D,點E在線段CD的延長線上,連接QE.問:以QD為腰的等腰△QDE的面積是否存在最大值?若存在,請求出這個最大值;若不存在,請說明理由.

【答案】1A點坐標為(﹣30);(2);P點坐標為(, );(3QD為腰的等腰三角形的面積最大值為

【解析】試題分析:(1)把B點的坐標代入拋物線的解析式,求出a的值即可,令y=0,解方程求得x的值,即可得點A的坐標;(2)當點Px軸上方時,連接APy軸于點B′,可證△OBP≌△OB′P,可求得B′坐標,利用待定系數(shù)法可求得直線AP的解析式,聯(lián)立直線y=x,可求得P點坐標;當點Px軸下方時,同理可求得∠BPO=∠B′PO,又∠B′PO在∠APO的內(nèi)部,可知此時沒有滿足條件的點P;(3)過QQH⊥DE于點H,由直線CF的解析式可求得點C、F的坐標,結(jié)合條件可求得tan∠QDH,可分別用DQ表示出QHDH的長,分DQ=DEDQ=QE兩種情況,分別用DQ的長表示出△QDE的面積,再設出點Q的坐標,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得△QDE的面積的最大值.

試題解析:

1)把B(1,0)代入y=ax2+2x﹣3,

可得a+2﹣3=0,解得a=1,

∴拋物線解析式為y=x2+2x﹣3,

y=0,可得x2+2x﹣3=0,解得x=1x=﹣3,

A點坐標為(﹣3,0);

(2)若y=x平分∠APB,則∠APO=BPO,

如圖1,若P點在x軸上方,PAy軸交于點B′,

由于點P在直線y=x上,可知∠POB=POB′=45°,

在△BPO和△B′PO,

∠POB=∠PCB/,OP=OP,∠BPO=∠B/PO,

∴△BPO≌△B′PO(ASA),

BO=B′O=1,

設直線AP解析式為y=kx+b,把A、B′兩點坐標代入可得

,解得,

∴直線AP解析式為y=x+1

聯(lián)立,解得,

P點坐標為(, );

P點在x軸下方時,同理可得△BOP≌△B′OP,

∴∠BPO=B′PO,

又∠B′PO在∠APO的內(nèi)部,

∴∠APO≠∠BPO,即此時沒有滿足條件的P點,

綜上可知P點坐標為(, );

(3)如圖2,作QHCF,交CF于點H,

CFy=x,

∴可求得C,0),F0),

tanOFC==,

DQy軸,

∴∠QDH=MFD=OFC,

tanHDQ=,

不妨設DQ=tDH=t,HQ=t,

∵△QDE是以DQ為腰的等腰三角形,

∴若DQ=DE,則SDEQ=DEHQ=×t×t=t2,

DQ=QE,則SDEQ=DEHQ=×2DHHQ=×t×t=t2,

t2t2,

∴當DQ=QE時△DEQ的面積比DQ=DE時大.

Q點坐標為(x,x2+2x3),則Dx x),

Q點在直線CF的下方,

DQ=t=xx2+2x3=x2x+

x=時,tmax=3

SDEQmax=t2=,

即以QD為腰的等腰三角形的面積最大值為

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