Question

【題目】在直線l上擺放著三個正方形

(1)如圖1，已知水平放置的兩個正方形的邊長依次是a，b斜著放置的正方形的面積S＝　 　，兩個直角三角形的面積和為　 　；(均用a，b表示)

(2)如圖2，小正方形面積S1＝1，斜著放置的正方形的面積S＝4，求圖中兩個鈍角三角形的面積m1和m2，并給出圖中四個三角形的面積關系；

(3)圖3是由五個正方形所搭成的平面圖，T與S分別表示所在的三角形與正方形的面積，試寫出T與S的關系式，并利用(1)和(2)的結論說明理由．

Answer 1

【答案】（1）a2+b2，ab；（2）四個三角形的面積相等；（3）S＝T．

【解析】

（1）根據題意，可以證得中間的兩個三角形全等，再根據勾股定理，即可得出答案；
（2）求出兩個鈍角三角形的底邊和高，然后根據三角形的面積公式求解即可；
（3）利用勾股定理分別求出S和T的值，然后比較求解即可．

（1）如圖1所示：∵三個四邊形均為正方形，

∴∠ACB+∠BAC＝90°，∠ACB+∠DCE＝90°，AC＝CE，

∴∠BAC＝∠DCE，

∵∠ABC＝∠CDE＝90°，

∴△ABC≌△CDE，

∴BC＝DE＝b，AB＝CD＝a，

∴S△ABC+S△CDE＝ab，

同時AC2＝AB2+BC2，

∵兩個正方形的面積分別為a2，b2，

∴S＝a2+b2，

（2）如圖2所示，a＝1，斜正方形邊長c＝2，b＝，

由30°角和60°角易求出面積為m1的三角形底邊長為1，高為，故m1＝；

面積為m2的三角形邊長為，高為1，故m2＝．

結論：四個三角形的面積相等．

（3）S＝T．如圖3所示，首先由（2）知：T＝S△ABC，

設小正方形邊長為a，大正方形邊長為b，

由（1）知：S＝a2+b2，又圖中四個小三角形的面積m＝ab，

S△ABC＝a2+b2+（a2+b2）+4×ab﹣（a+b）（2a+2b）＝a2+b2＝S，

∴S＝T．