【題目】已知直線y=kx+2k+4與拋物線y=x 2
(1)求證:直線與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn);
(2)設(shè)直線與拋物線分別交于A, B兩點(diǎn).
①當(dāng)k=-時(shí),在直線AB下方的拋物線上求點(diǎn)P,使△ABP的面積等于5;
②在拋物線上是否存在定點(diǎn)D使∠ADB=90°,若存在,求點(diǎn)D到直線AB的最大距離. 若不存在,請(qǐng)你說(shuō)明理由.
【答案】(1)見(jiàn)解析;①點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-2,2)或(1,),②存在,當(dāng)CD⊥AB時(shí),點(diǎn)D到直線AB的距離最大,最大距離為2.
【解析】
(1)聯(lián)立y=kx+2k+4與y=x 2,得到,再利用根的判別式求解即可;(2) ①設(shè)P(m,m2),聯(lián)立直線方程和拋物線方程,求得A,B的坐標(biāo),|AB|的長(zhǎng),運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式,解得即可得到所求P的坐標(biāo);②設(shè)A(x1, x12),B(x2, x22),D(t, t2),利用△ADE∽△DBF,得出AE·BF=DE·DF,再利用垂線段最短得出結(jié)果即可.
(1)由得
∵
=
=
=
∵
∴直線與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn).
(2)當(dāng)k=-時(shí),直線AB的解析式為y=-x+3
令-x+3=x2,即x2+x-6=0,解得x1=-3,x2=2
∴點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為-3,點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為2
過(guò)點(diǎn)P作PQ∥y軸交直線AB于點(diǎn)Q
設(shè)P(m, m2),則Q(m,- m+3)
∴PQ=-m+3-m2
∵S△ABP=5,
∴ (2+3)(-m+3-m2)=5
整理得:m2+m-2=0,解得m1=-2,m2=1
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-2,2)或(1,)
(3)設(shè)A(x1, x12),B(x2, x22),D(t, t2)
聯(lián)立消去y得:x2-2kx-4k-8=0
∴x1+x2=2k,x1x2=-4k-8
過(guò)點(diǎn)D作EF∥x軸,分別過(guò)點(diǎn)A、B作y軸的平行線,交EF于點(diǎn)E、F
則DE=t-x1,AE=x12-t2,DF=x2-t,BF=x22-t2
由∠ADB=90°,可得△ADE∽△DBF
∴,即AE·BF=DE·DF
∴(x12-t2)( x22-t2)=(t-x1)(x2-t)
∴t2+(x1+x2)t+x1x2+4=0
∴t2+2kt-4k-4=0,即2k(t-2)+t2-4=0
當(dāng)t-2=0,即t=2時(shí),上式對(duì)任意實(shí)數(shù)k均成立
即點(diǎn)D的坐標(biāo)與k無(wú)關(guān),∴D(2,2)
連接CD,∵C(-2,4),∴CD=2
過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB,垂足為H,則DH≤CD
當(dāng)CD⊥AB時(shí),點(diǎn)D到直線AB的距離最大,最大距離為2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,曲線BC是反比例函數(shù)y=(4≤x≤6)的一部分,其中B(4,1﹣m),C(6,﹣m),拋物線y=﹣x2+2bx的頂點(diǎn)記作A.
(1)求k的值.
(2)判斷點(diǎn)A是否可與點(diǎn)B重合;
(3)若拋物線與BC有交點(diǎn),求b的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,⊙O的弦AD∥BC,過(guò)點(diǎn)D的切線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,AC∥DE交BD于點(diǎn)H,DO及延長(zhǎng)線分別交AC、BC于點(diǎn)G、F.
(1)求證:DF垂直平分AC;
(2)求證:FC=CE;
(3)若弦AD=5cm,AC=8cm,求⊙O的半徑.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)的y與x的部分對(duì)應(yīng)值如表:
x | 1 | 0 | 2 | 3 | 4 |
y | 5 | 0 | 4 | 3 | 0 |
下列結(jié)論:①拋物線的開(kāi)口向上;②拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2;③當(dāng)0<x<4時(shí),y>0;④拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離是4;⑤若A(,2),B(,3)是拋物線上兩點(diǎn),則,其中正確的個(gè)數(shù)是 ( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若二次函數(shù)y=|a|x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)A(m,n)、B(0,y1)、C(3-m,n)、D(, y2)、E(2,y3),則y1、y2、y3的大小關(guān)系是( ).
A. y1< y2< y3B. y1 < y3< y2C. y3< y2< y1D. y2< y3< y1
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象交x軸于A、D兩點(diǎn)并經(jīng)過(guò)B點(diǎn),已知A點(diǎn)坐標(biāo)是(2,0),B點(diǎn)的坐標(biāo)是(8,6).
(1)求二次函數(shù)的解析式;
(2)該二次函數(shù)的對(duì)稱軸交x軸于C點(diǎn),連接BC,并延長(zhǎng)BC交拋物線于E點(diǎn),連接BD,DE,求△BDE的面積;
(3)拋物線上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P,與A,D兩點(diǎn)構(gòu)成△ADP,是否存在2S△ADP=S△BCD?若存在請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,平面直角坐標(biāo)系中,A(0,8)、B(6,0) .動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā),沿y軸負(fù)半軸方向運(yùn)動(dòng),速度每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度,動(dòng)點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā),沿BA方向向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng),速度每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度.兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),Q點(diǎn)到達(dá)A點(diǎn)時(shí),兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.
(1)當(dāng)△APQ面積為12,求t的值.
(2)當(dāng)△APQ的外心(三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn))在△APQ的邊上時(shí),求t值.
(3)若Q點(diǎn)在直線AB上運(yùn)動(dòng),過(guò)Q點(diǎn)作QH⊥x軸,垂足為H,當(dāng)△QBH與△ABO的相似比為1:2時(shí),直接寫(xiě)出Q點(diǎn)坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一個(gè)四位數(shù),記千位上和百位上的數(shù)字之和為,十位上和個(gè)位上的數(shù)字之和為,如果,那么稱這個(gè)四位數(shù)為“和平數(shù)”.例如:1423,,,因?yàn)?/span>,所以1423是“和平數(shù)”.
(1)直接寫(xiě)出:最小的“和平數(shù)”是_________________,最大的“和平數(shù)”是_______________;
(2)求個(gè)位上的數(shù)字是千位上的數(shù)字的兩倍且百位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字之和是12的倍數(shù)的所有“和平數(shù)”.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】奇思參加我市電視臺(tái)組織的“牡丹杯”智力競(jìng)答節(jié)目,答對(duì)最后兩道單選題就順利通關(guān),第一道單選題有3個(gè)選項(xiàng),第二道單選題有4個(gè)選項(xiàng),這兩道題奇思都不會(huì),不過(guò)奇思還有兩個(gè)“求助”可以使用(使用“求助”一次可以讓主持人去掉其中一題的一個(gè)錯(cuò)誤選項(xiàng)).
(1)如果奇思兩次“求助”都在第一道單選題中使用,求他通關(guān)的概率;
(2)如果奇思每道單選題各使用一次“求助",請(qǐng)用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法求他順利通關(guān)的概率.
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