Question

【題目】如圖，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象交x軸于A、D兩點(diǎn)并經(jīng)過B點(diǎn)，已知A點(diǎn)坐標(biāo)是（2，0），B點(diǎn)的坐標(biāo)是（8，6）．

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）該二次函數(shù)的對(duì)稱軸交x軸于C點(diǎn)，連接BC，并延長(zhǎng)BC交拋物線于E點(diǎn)，連接BD，DE，求△BDE的面積；

（3）拋物線上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，與A，D兩點(diǎn)構(gòu)成△ADP，是否存在2S△ADP＝S△BCD？若存在請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）二次函數(shù)解析式為：y＝x2﹣4x+6；（2）；（3）存在，P1（4+，），P2（4﹣，），P3（3，﹣），P4（5，﹣）

【解析】

（1）根據(jù)待定系數(shù)法可求二次函數(shù)的解析式；

（2）由題意可得C點(diǎn)，D點(diǎn)坐標(biāo)，求出BC解析式，可求E點(diǎn)坐標(biāo)，即可求△BDE的面積；

（3）點(diǎn)P到x軸的距離為h，根據(jù)2S△ADP=S△BCD，可求h=，再分點(diǎn)P在x軸上方，x軸下方討論，可求點(diǎn)P坐標(biāo)．

（1）∵二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象過A（2，0），B（8，6）

∴

解得b＝﹣4，c＝6

∴二次函數(shù)解析式為：y＝x2﹣4x+6

（2）∵y＝x2﹣4x+6＝y＝（x﹣4）2﹣2，

∴函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4，﹣2），

∴對(duì)稱軸為直線x＝4，點(diǎn)C坐標(biāo)（4，0）

∵點(diǎn)A，點(diǎn)D是拋物線y＝x2﹣4x+6與x軸的交點(diǎn)

∴點(diǎn)A，點(diǎn)D關(guān)于對(duì)稱軸直線x＝4對(duì)稱，且A（2，0）

∴D（6，0）

設(shè)BC所在的直線解析式為y＝kx+b，且過點(diǎn)B（8，6），點(diǎn)C（4，0）

∴

解得k＝，b＝﹣6

∴BC所在的直線解析式為y＝x﹣6，

∵E點(diǎn)是直線y＝x﹣6與拋物線y＝x2﹣4x+6的交點(diǎn)，

∴x﹣6＝x2﹣4x+6

解得x1＝3，x2＝8（舍去），

當(dāng)x＝3時(shí)，y＝﹣，

∴E（3，﹣）

∴S△BDE＝S△CDB+S△CDE＝×2×6+×2×＝．

（3）存在，

設(shè)點(diǎn)P到x軸的距離為h，

∵S△BCD＝×2×6＝6，S△ADP＝×4×h＝2h，且2S△ADP＝S△BCD

∴2×2h＝6，

解得h＝，

當(dāng)P在x軸上方時(shí)，

＝x2﹣4x+6，解得x1＝4+，x2＝4﹣，

當(dāng)當(dāng)P在x軸下方時(shí)，

﹣＝x2﹣4x+6，

解得x1＝3，x2＝5，

∴P1（4+，），P2（4﹣，），P3（3，﹣），P4（5，﹣）