Question

【題目】如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊彤OACB是菱形，OB在x軸的正半軸上，sin∠AOB=，反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，與BC交于點(diǎn)F，刪△AOF的面積等于（ ）

A. 10 B. 9 C. 8 D. 6

Answer 1

【答案】A

【解析】 過點(diǎn)A作AM⊥x軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)F作FN⊥x軸于點(diǎn)N，設(shè)OA=a，BF=b，通過解直角三角形分別找出點(diǎn)A、F的坐標(biāo)，結(jié)合反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出a、b的值，通過分割圖形求面積，最終找出△AOF的面積等于梯形AMNF的面積，利用梯形的面積公式即可得出結(jié)論．

解：過點(diǎn)A作AM⊥x軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)F作FN⊥x軸于點(diǎn)N，如圖所示．

設(shè)OA=a，BF=b，

在Rt△OAM中，∠AMO=90°，OA=a，sin∠AOB=，

∴AM=OAsin∠AOB=a，OM==a，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a， a）．

∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=的圖象上，

∴a×a=a2=12，

解得：a=5，或a=﹣5（舍去）．

∴AM=8，OM=6．

∵四邊形OACB是菱形，

∴OA=OB=10，BC∥OA，

∴∠FBN=∠AOB．

在Rt△BNF中，BF=b，sin∠FBN=，∠BNF=90°，

∴FN=BFsin∠FBN=b，BN==b，

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（10+b， b）．

∵點(diǎn)F在反比例函數(shù)y=的圖象上，

∴（10+b）×b=12，

S△AOF=S△AOM+S梯形AMNF﹣S△OFN=S梯形AMNF=10

故選A．

“點(diǎn)睛”本題主要考查了菱形的性質(zhì)、解直角三角形以及反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是找出S△AOF=S菱形OBCA.