【題目】定義:在線段MN上存在點P、Q將線段MN分為相等的三部分,則稱P、Q為線段MN的三等分點.
已知一次函數(shù)y=﹣x+3的圖象與x、y軸分別交于點M、N,且A、C為線段MN的三等分點(點A在點C的左邊).
(1)直接寫出點A、C的坐標;
(2)①二次函數(shù)的圖象恰好經過點O、A、C,試求此二次函數(shù)的解析式;
②過點A、C分別作AB、CD垂直x軸于B、D兩點,在此拋物線O、C之間取一點P(點P不與O、C重合)作PF⊥x軸于點F,PF交OC于點E,是否存在點P使得AP=BE?若存在,求出點P的坐標?若不存在,試說明理由;
(3)在(2)的條件下,將△OAB沿AC方向移動到△O'A'B'(點A'在線段AC上,且不與C重合),△O'A'B'與△OCD重疊部分的面積為S,試求當S=時點A'的坐標.
【答案】(1)點A、C的坐標分別為:(1,2)、(2,1);(2)①拋物線的表達式為:y=﹣x2+x;②P的坐標為:(,);(3)點A′的坐標為:(,)
【解析】
(1)先求出M、N的坐標,再根據(jù)A、C為線段MN的三等分點,即可求解;
(2)①設函數(shù)的表達式為:y=ax2+bx,將點A、C的坐標代入上式即可求解;
②設點P(m,﹣m2+m),AP=BE,則(m﹣1)2+(﹣m2+m﹣2)2=,即可求解;
(3)S=S△A′GK﹣S△A′HR=×GK×A′K﹣HE×A′R=(1﹣m)(2﹣m)﹣(1﹣m)()=,即可求解.
解:(1)一次函數(shù)y=﹣x+3的圖象與x、y軸分別交于點M、N,令x=0,y=3,則M的坐標為(0,3),令y=0,x=3,則N的坐標為(3,0),由A、C為線段MN的三等分點,則點A、C的坐標分別為:(1,2)、(2,1);
(2)①設函數(shù)的表達式為:y=ax2+bx,將點A、C的坐標代入上式得:,解得:,
故拋物線的表達式為:y=﹣x2+x;
②存在,理由:
設點P(m,﹣m2+m),
直線OC的表達式為:y=x,則點B(1,),BE=,
AP=BE,則(m﹣1)2+(﹣m2+m﹣2)2=,
化簡得:7m2﹣15m+7=0,
解得:m=(舍去負值),
故點P的坐標為:(,);
(3)設直線A′O′交OC于點H,交x軸于點G,直線A′B′交OC于點R,交x軸于點K,過點H作HE⊥A′B′于點E,
設點A向下平移m個單位向右平移m個單位得到A′(1+m,2﹣m),
設直線O′A′的表達式為:y=2x+b,將點A′的坐標代入上式并解得:
直線O′A′的表達式為:y=2x﹣3m①,
故點G(,0),則GK=1+m﹣=1﹣m,
直線OC的表達式為:y=x②,
聯(lián)立①②并解得:x=2m,故點H(2m,m),則HE=1+m﹣2m=1﹣m,
點R(1+m,),則A′R=2﹣m﹣(m+1)=,
S=S△A′GK﹣S△A′HR=×GK×A′K﹣HE×A′R=(1﹣m)(2﹣m)﹣·(1﹣m)=,
解得:m=,
故點A′的坐標為:(,).
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【題目】如圖,正方形中,點是邊上的任一點,連接并將線段繞點順時針旋轉得到線段,在邊上取點使,連接.
(1)求證:四邊形是平行四邊形;
(2)線段與交于點,連接,若,則與存在怎樣的數(shù)量關系?請說明理由.
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【題目】如圖,∠ABD=∠BCD=90°,ABCD=BCBD,BM∥CD交AD于點M.連接CM交DB于點N.
(1)求證:△ABD∽△BCD;
(2)若CD=6,AD=8,求MC的長.
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【題目】探索與證明:(1)如圖1,直線m經過正三角形ABC的頂點A,在直線m上取兩點 D,E,使得∠ADB=60°,∠AEC=60°.通過觀察或測量,猜想線段BD,CE與DE之間滿足的數(shù)量關系,并予以證明;
(2)將(1)中的直線m繞點A逆時針方向旋轉一個角度到如圖2的位置,并使∠ADB=120°,∠AEC=120°.通過觀察或測量,請直接寫出線段BD,CE與DE之間滿足的數(shù)量關系.
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【題目】如圖,AB為弓形AB的弦,AB=2,弓形所在圓⊙O的半徑為2,點P為弧AB上動點,點I為△PAB的內心,當點P從點A向點B運動時,點I移動的路徑長為_____.
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【題目】如圖所示,在正方形網(wǎng)格中,△ABC的頂點坐標分別為(﹣1,0),(﹣2,﹣2),(﹣4,﹣1).請在所給直角坐標系中按要求畫圖和解答下列問題:
(1)將△ABC繞著某點按順時針方向旋轉得到△A′B'C',請直接寫出旋轉中心的坐標和旋轉角度.
(2)畫出△ABC關于點A成中心對稱的△AED,若△ABC內有一點P(a,b),請直接寫出經過這次變換后點P的對稱點坐標.
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【題目】如圖,一次函數(shù)y=x+b和反比例函數(shù)y=(k≠0)交于點A(4,1).
(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式;
(2)求△AOB的面積;
(3)根據(jù)圖象直接寫出一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值的x的取值范圍.
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