Question

【題目】如圖，等腰△ABC中，AB=AC=10，BC=16，點F是邊BC上不與點B，C重合的一個動點，直線DE垂直平分BF，垂足為D.當△ACF是直角三角形時，線段BD的長為__________.

Answer 1

【答案】4或．

【解析】

分兩種情況討論：

①當∠AFC=90°時，AF⊥BC，利用等腰三角形的三線合一性質和垂直平分線的性質可解；
②當∠CAF=90°時，過點A作AM⊥BC于點M，證明△AMC∽△FAC，列比例式求出FC，從而得BF，再利用垂直平分線的性質得BD．

①當∠AFC=90°時，AF⊥BC，
∵AB=AC，
∴BF=BC=8
∵DE垂直平分BF，
∴BD=BF=4；

②當∠CAF=90°時，過點A作AM⊥BC于點M，
∵AB=AC，
∴BM=CM，
在Rt△AMC與Rt△FAC中，∠AMC=∠FAC=90°，∠C=∠C，
∴△AMC∽△FAC，
∴，
∴FC=，
∵AC=10，MC=BC=8，
∴FC=，

∴BF=BC-FC=16-=，
∴BD=BF=.

故答案為：4或．