【題目】如圖,⊙O是△ABC的外接圓,點(diǎn)E為△ABC內(nèi)切圓的圓心,連接AE的延長線交BC于點(diǎn)F,交⊙O于點(diǎn)D;連接BD,過點(diǎn)D作直線DM,使∠BDM=∠DAC.
(1)求證:直線DM是⊙O的切線;
(2)若DF=2,且AF=4,求BD和DE的長.
【答案】(1)證明見解析(2)2
【解析】
(1)根據(jù)垂徑定理的推論即可得到OD⊥BC,再根據(jù)∠BDM=∠DBC,即可判定BC∥DM,進(jìn)而得到OD⊥DM,據(jù)此可得直線DM是⊙O的切線;
(2)根據(jù)三角形內(nèi)心的定義以及圓周角定理,得到∠BED=∠EBD,即可得出DB=DE,再判定△DBF∽△DAB,即可得到DB2=DFDA,據(jù)此解答即可.
(1)如圖所示,連接OD.
∵點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心,∴∠BAD=∠CAD,∴,∴OD⊥BC.
又∵∠BDM=∠DAC,∠DAC=∠DBC,∴∠BDM=∠DBC,∴BC∥DM,∴OD⊥DM.
又∵OD為⊙O半徑,∴直線DM是⊙O的切線.
(2)連接BE.∵E為內(nèi)心,∴∠ABE=∠CBE.
∵∠BAD=∠CAD,∠DBC=∠CAD,∴∠BAD=∠DBC,∴∠BAE+∠ABE=∠CBE+∠DBC,即∠BED=∠DBE,∴BD=DE.
又∵∠BDF=∠ADB(公共角),∴△DBF∽△DAB,∴,即DB2=DFDA.
∵DF=2,AF=4,∴DA=DF+AF=6,∴DB2=DFDA=12,∴DB=DE=2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀下列材料,學(xué)習(xí)完“代人消元法”和“加減消元法“解二元一次方程組后,善于思考的小銘在解方程組時(shí),采用了一種“整體代換”的解法:
解:將方程②變形:4x+10y+y=5即2(2x+5y)+y=5③
把方程①代入③得:2×3+y=5,∴y=-1①得x=4,所以,方程組的解為.
請你解決以下問題:
(1)模仿小銘的“整體代換”法解方程組.
(2)已知x,y滿足方程組,求x2+4y2的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖在△ABC中,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,點(diǎn)P是邊BC上由B向C運(yùn)動(不與點(diǎn)B、C重合)的一動點(diǎn),P點(diǎn)的速度是1cm/s,設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時(shí)間為t,過P點(diǎn)作AC的平行線交AB與點(diǎn)N,連接AP,
(1)請用含有t的代數(shù)式表示線段AN和線段PN的長,
(2)當(dāng)t為何值時(shí),△APN的面積等于△ACP面積的三分之一?
(3)在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中,是否存在某一時(shí)刻的t的值,使得△APN的面積有最大值,若存在請求出t的值并計(jì)算最大面積;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,等腰△ABC中,AB=AC=10,BC=16,點(diǎn)F是邊BC上不與點(diǎn)B,C重合的一個(gè)動點(diǎn),直線DE垂直平分BF,垂足為D.當(dāng)△ACF是直角三角形時(shí),線段BD的長為__________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知射線是的角平分線,,點(diǎn)是射線上的點(diǎn),連接.
(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)在射線上時(shí),連接,.若,則的形狀是_____.
(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)在射線的反向延長線上時(shí),連接,.若,則(1)中的結(jié)論是否成立?請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,BC為Rt△ABC的斜邊,∠CBA=30°,△ABD,△ACF,△BCE均為正三角形,四邊形MNPE是長方形,點(diǎn)F在MN上,點(diǎn)D在NP上,若AC=2,則圖中空白部分的面積是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖①,在邊長為4cm的正方形ABCD中,點(diǎn)P以每秒2cm的速度從點(diǎn)A出發(fā),沿AB→BC的路徑運(yùn)動,到點(diǎn)C停止.過點(diǎn)P作PQ∥BD,PQ與邊AD(或邊CD)交于點(diǎn)Q,PQ的長度y(cm)與點(diǎn)P的運(yùn)動時(shí)間x(秒)的函數(shù)圖象如圖②所示.當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動2.5秒時(shí),PQ的長度是________cm.
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【題目】閱讀下面材料,完成(1)-(3)題
數(shù)學(xué)課上,老師出示了這樣一道題:如圖, 中,,點(diǎn)P為邊AB上一點(diǎn)(不與A、B重合),過P作于Q,做QE∥AB交BC于點(diǎn)E,連接PE,將線段PE繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到PF,連接QF,探究線段之間的數(shù)量關(guān)系并證明.
同學(xué)們經(jīng)過思考后,交流了自已的想法
小明:“通過觀察和度量,發(fā)現(xiàn)為直角.”
小偉:“我通過一線三直角的模型構(gòu)造三角形全等可以解決問題.”
小強(qiáng):“我構(gòu)造等腰直角三角形,再利用全等三角形可以解決問題.”
老師:“若其他條件不變,PE=AC,就可以求出的值.”
(1)多少度?四邊形為什么特殊四邊形?(直接寫出答案)
(2)探究線段之間的數(shù)量關(guān)系并證明;
(3)若其他條件不變,PE=AC,求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(9分)某批發(fā)商以每件50元的價(jià)格購進(jìn)800件T恤,第一個(gè)月以單價(jià)80元銷售,售出了200件;第二個(gè)月如果單價(jià)不變,預(yù)計(jì)仍可售出200件,批發(fā)商為增加銷售量,決定降價(jià)銷售,根據(jù)市場調(diào)查,單價(jià)每降低1元,可多售出10件,但最低單價(jià)應(yīng)高于購進(jìn)的價(jià)格;第二個(gè)月結(jié)束后,批發(fā)商將對剩余的T恤一次性清倉銷售,清倉是單價(jià)為40元,設(shè)第二個(gè)月單價(jià)降低元.
(1)填表:(不需化簡)
(2)如果批發(fā)商希望通過銷售這批T恤獲利9000元,那么第二個(gè)月的單價(jià)應(yīng)是多少元?
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