Question

7．先觀察表格，再解決問(wèn)題．

項(xiàng)數(shù)	第一項(xiàng)	前兩項(xiàng)	前三項(xiàng)	前四項(xiàng)	前五項(xiàng)
式子①	1	1+2	1+2+3	1+2+3+4	1+2+3+4+5
式子②	12	12+22	12+22+32	12+22+32+42	12+22+32+42+52
兩個(gè)式子的比	1	$\frac{3}{5}$	$\frac{3}{7}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{3}{11}$

（1）1+2+3+4+5+…+40=820（直接寫出結(jié)果）；
（2）計(jì)算1²+2²+3²+4²+…+40²的值；
（3）計(jì)算2²+4²+6²+8²+…+40²的值．

Answer 1

分析 （1）這是一個(gè)等差數(shù)列，根據(jù)高斯求和公式直接求出即可；
（2）觀察表格的規(guī)律，式子①與式子②的比值通式為$\frac{3}{2n+1}$，根據(jù)（1）和這個(gè)通式即可求得結(jié)論；
（3）把2²+4²+6²+8²+…+40²化為2²×（1²+2²+3²+4²+…+20²），根據(jù)（2）即可求得結(jié)論．

解答 解：（1）1+2+3+4+5+…+40=$\frac{1}{2}$（1+40）×40=820，
故答案為：420；
（2）1²+2²+3²+4²+…+40²=$\frac{81}{3}$×（1+2+3+4+5+…+40）=$\frac{81}{3}$×820=22140；
（3）1+2+3+4+5+…+20=$\frac{1}{2}$×（1+20）×20=210
1²+2²+3²+4²+…+20²=$\frac{41}{3}$×（1+2+3+4+5+…+20）=$\frac{41}{3}$×210=2870，
2²+4²+6²+8²+…+40²=2²×（1²+2²+3²+4²+…+20²）=4×2870=11480．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了等差數(shù)列，數(shù)字的變化，能根據(jù)表格的規(guī)律，得到式子①與式子②的比值通式為$\frac{3}{2n+1}$是解題的關(guān)鍵．