【題目】如圖,點(diǎn)A,B在直線1上,AB = 20cm,∠BAC= 120°.
(1)點(diǎn)P從A出發(fā),沿射線AB以每秒2cm的速度向右運(yùn)動,同時(shí)點(diǎn)Q從B出發(fā),沿射線BA以每秒lcm的速度向左運(yùn)動,求點(diǎn)P出發(fā)多少秒時(shí)與點(diǎn)Q重合?
(2)在(1)的條件下,求點(diǎn)P出發(fā)多少秒時(shí)與點(diǎn)Q相距5cm?
(3)點(diǎn)M為射線AC上一點(diǎn),AM = 4cm,現(xiàn)將射線AC繞點(diǎn)A以每秒30°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周后停止,同時(shí)點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)沿直線AB向左運(yùn)動,在這一運(yùn)動過程中,是否存在某一時(shí)刻,使得點(diǎn)N為BM的中點(diǎn)?若存在,求出點(diǎn)N運(yùn)動的速度:若不存在,請說明理由.
【答案】(1)點(diǎn)P出發(fā)秒時(shí)與點(diǎn)Q重合;(2)點(diǎn)P出發(fā)5秒或秒時(shí)與點(diǎn)Q相距5cm;(3)存在,點(diǎn)N運(yùn)動的速度為2cm/s或1.2cm/s.
【解析】
(1)設(shè)點(diǎn)P出發(fā)x秒時(shí)與點(diǎn)Q重合,根據(jù)題意列出方程并解方程即可;
(2)設(shè)點(diǎn)P出發(fā)t秒時(shí)與點(diǎn)Q相距5cm,根據(jù)點(diǎn)P、Q是否相遇分類討論,分別根據(jù)圖形列出方程,求出t即可;
(3)根據(jù)點(diǎn)M與點(diǎn)A的相對位置分類討論:①當(dāng)點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)A的右側(cè)時(shí),此時(shí)M的對應(yīng)點(diǎn)為M1,N為BM1的中點(diǎn),先求出此時(shí)N行駛的路程BN,再求出N行駛的時(shí)間,即可求出N的速度;②當(dāng)點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)A的左側(cè)時(shí),此時(shí)M的對應(yīng)點(diǎn)為M2,N為BM2的中點(diǎn),原理同上.
解:(1)設(shè)點(diǎn)P出發(fā)x秒時(shí)與點(diǎn)Q重合,
根據(jù)題意可知:AP=2x,BQ=x,
∴2x+x=20
解得:x=
答:點(diǎn)P出發(fā)秒時(shí)與點(diǎn)Q重合.
(2)設(shè)點(diǎn)P出發(fā)t秒時(shí)與點(diǎn)Q相距5cm
①若P、Q未相遇時(shí),如下圖所示
∴AP=2t,PQ=5,BQ= t,
∴2t+5+t =20
解得:t =5;
②若P、Q已相遇,如下圖所示
∴AP=2t,PQ=5,BQ= t,
∴2t-5+t =20
解得:t =
綜上所述:t=5或.
答:點(diǎn)P出發(fā)5秒或秒時(shí)與點(diǎn)Q相距5cm.
(3)存在,
①當(dāng)點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)A的右側(cè)時(shí),此時(shí)M的對應(yīng)點(diǎn)為M1,N為BM1的中點(diǎn)
∴AM1=AM=4cm,
∴BM1=AB-AM1=16cm
∵N為BM1的中點(diǎn)
∴N行駛的路程BN= BM1=8cm
∵∠BAC= 120°,射線AC繞點(diǎn)A以每秒30°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn),同時(shí)點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)沿直線AB向左運(yùn)動,
∴N行駛的時(shí)間=射線AC旋轉(zhuǎn)的時(shí)間=120÷30=4s
∴N的速度為:8÷4=2cm/s
②當(dāng)點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)A的左側(cè)時(shí),此時(shí)M的對應(yīng)點(diǎn)為M2,N為BM2的中點(diǎn)
∴AM2=AM=4cm,
∴BM2=AB+AM2=24cm
∵N為BM2的中點(diǎn)
∴N行駛的路程BN= BM2=12cm
∵∠BAC= 120°,射線AC繞點(diǎn)A以每秒30°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn),同時(shí)點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)沿直線AB向左運(yùn)動,
∴射線AC旋轉(zhuǎn)的角度為:120°+180°=300°,N行駛的時(shí)間=射線AC旋轉(zhuǎn)的時(shí)間=300÷30=10s
∴N的速度為:12÷10=1.2cm/s
綜上所述:點(diǎn)N運(yùn)動的速度為2cm/s或1.2cm/s.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過三個點(diǎn)A(﹣4,﹣3),B(2m,y1),C(6m,y2),其中m>0.
(1)當(dāng)y1﹣y2=4時(shí),求m的值;
(2)如圖,過點(diǎn)B、C分別作x軸、y軸的垂線,兩垂線相交于點(diǎn)D,點(diǎn)P在x軸上,若三角形PBD的面積是8,請寫出點(diǎn)P坐標(biāo)(不需要寫解答過程).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】按要求解下列各題:
(1)先化簡,再求值:5(a2b + 2ab2)- 2(3a2b + 4ab2-1),其中|a-2|+(b+ 3)2= 0:
(2)解方程:=1-.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】古希臘著名的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把1,3,6,10…這樣的數(shù)稱為“三角形數(shù)”,而把1,4,9,16…這樣的數(shù)稱為“正方形數(shù)”.觀察下面的點(diǎn)陣圖和相應(yīng)的等式,探究其中的規(guī)律:
(1)下圖反映了任何一個三角形數(shù)是如何得到的,認(rèn)真觀察,并在④后面的橫線上寫出相應(yīng)的等式;
(2)通過猜想,寫出(1)中與第八個點(diǎn)陣相對應(yīng)的等式 ;
(3)從下圖中可以發(fā)現(xiàn),任何一個大于1的“正方形數(shù)”都可以看作兩個相鄰“三角形數(shù)”之和.結(jié)合(1)觀察下列點(diǎn)陣圖,并在⑤看面的橫線上寫出相應(yīng)的等式.
(4)通過猜想,寫出(3)中與第n個點(diǎn)陣相對應(yīng)的等式 ;
(5)判斷256是不是正方形數(shù),如果不是,說明理由;如果是,256可以看作哪兩個相鄰的“三角形數(shù)”之和?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖(1),在中,,,為邊上任意一點(diǎn),為邊一動點(diǎn),分別以為邊作等邊三角形和等邊三角形,連接.
(1)試探索與的位置關(guān)系,并證明;
(2)如圖(2)當(dāng)為延長線上任意一點(diǎn)時(shí),(1)中的結(jié)論是否成立?請說明理由;
(3)如圖(3)在中,,,為延長線上一點(diǎn),為邊一動點(diǎn),分別以為邊作等腰三角形和等腰三角形,使得,連接.要使(1)中的結(jié)論依然成立,還需要添加怎樣的條件?為什么?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】圓上有五個點(diǎn),這五個點(diǎn)將圓分成五等份(每一份稱為一段弧長),把這五個點(diǎn)按順時(shí)針方向依次編號為1,2,3,4,5,若從某一點(diǎn)開始,沿圓周順時(shí)針方向行走,點(diǎn)的編號是數(shù)字幾,就走幾段弧長,則稱這種走法為一次“移位”.如:小明在編號為3的點(diǎn),那么他應(yīng)走3段弧長,即從3→ 4→5→1為第一次“移位”,這時(shí)他到達(dá)編號為1的點(diǎn),然后從1→2為第二次“移位”.若小明從編號為4的點(diǎn)開始,第2020次“移位”后,他到達(dá)編號為______的點(diǎn).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解長沙市七年級學(xué)生身體素質(zhì),從全市七年級學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行了一次體育考試科目的測試(把測試結(jié)果分為四個等級:A級:優(yōu)秀;B級:良好;C級:及格;D級:不及格),并將測試記錄繪成如下兩幅完全不同的統(tǒng)計(jì)圖.請根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中的信息解答下列問題:
(1)本次抽樣測試的學(xué)生數(shù)是________;
(2)圖1中的度數(shù)是________;把圖2條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完成;
(3)長沙市某區(qū)七年級共有9800名學(xué)生,如果全部參加這次體育科目測試,請估計(jì)不及格的人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線AB交x軸于點(diǎn)A(a,0),交軸于點(diǎn),且,滿足,直線交于點(diǎn).
(1)________;________;并求直線的解析式;
(2)過點(diǎn)作交軸于點(diǎn),求點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)在直線上是否存在一點(diǎn),使得?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是1,每個小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn).
(1)在圖1中以格點(diǎn)為頂點(diǎn)畫一個面積為10的正方形;
(2)在圖2中以格點(diǎn)為頂點(diǎn)畫一個三角形,使三角形三邊長分別為2、、;
(3)如圖3,點(diǎn)A、B、C是小正方形的頂點(diǎn),求∠ABC的度數(shù).
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