Question

【題目】已知拋物線交x軸于A（-2，0），B（4，0）兩點，交y軸于C點，連接AC、BC．點D在線段BC上（不與點B、點C重合），DE∥AC，交x軸于點E，連接CE．

（1）求拋物線的解析式；

（2）設(shè)點D的橫坐標(biāo)為m，△CDE的面積為S．則m為何值時，S取得最大值，并求出這個最大值；

（3）若△ACE為等腰三角形，請直接寫出此時點D的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）m=2時，S取得最大值；（3） 或 或

【解析】

（1）根據(jù)待定系數(shù)法解答即可；

（2）易得點C坐標(biāo)和BC的長，然后利用待定系數(shù)法即可求出直線BC的解析式，如圖1，作DF⊥x軸于點F，則DF的長可用含m的代數(shù)式表示，由DE∥AC可得△BDE∽△BCA，于是有，由DF∥OC可得，于是有，則BE可用含m的代數(shù)式表示，然后根據(jù)即可得出S與m的函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出結(jié)果；

（3）分三種情況：當(dāng)CA=CE時，如圖2，結(jié)合（2）題中的BE先用含m的代數(shù)式表示AE，由AE=2AO即可建立m的方程，解方程即可求出m，進(jìn)而可得點D坐標(biāo)；當(dāng)AC=AE時，如圖3，由AC的長可直接解出m，從而可得點D坐標(biāo)；當(dāng)EA=EC時，如圖4，在Rt△OEC中，根據(jù)勾股定理建立m的方程，解方程即可求出m，于是可得點D坐標(biāo)．

解：（1）∵拋物線交x軸于A（﹣2，0），B（4，0）兩點，

∴，解得：，

∴拋物線解析式為；

（2）拋物線與y軸交于點C（0，﹣3），

∵A（﹣2，0），B（4，0），

∴OA＝2，OC＝3，OB＝4．

在Rt△OBC中，BC=．

由B（4，0）、C（0，﹣3）可求得直線BC的解析式為，

∵點D的橫坐標(biāo)為m，∴D（m，），

如圖1，作DF⊥x軸于點F，

∴DF=，

∵DE∥AC，

∴△BDE∽△BCA．

∴．

∵DF∥OC，

∴．

∴．

∴．

∴，

∴m=2時，S取得最大值；

（3）分三種情況：

當(dāng)CA=CE時，如圖2，

∵，

∴AE=，

∵AE=2AO=4，

∴，解得：，

此時點D的坐標(biāo)是：；

當(dāng)AC=AE時，如圖3，

∵，

∴

∴，

此時點M的坐標(biāo)為；

當(dāng)EA=EC時，如圖4，

∵，∴

則在Rt△OEC中，由勾股定理，得：，解得：，

此時點D的坐標(biāo)是．

綜上，點D的坐標(biāo)為或 或．