Question

如圖所示，點(diǎn)A，F(xiàn)，C，D在同一直線上，點(diǎn)B和點(diǎn)E分別在直線AD的兩側(cè)，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC．
 
（1）求證：四邊形BCEF是平行四邊形；
（2）若∠ABC=90°，AB=4，BC=3，當(dāng)AF為何值時(shí)，四邊形BCEF是菱形．

Answer 1

（1）由AF=DC可得AC=DF，再有AB=DE，∠A=∠D即可證得△ABC≌DEF，即得BC=EF，∠ACB=∠DFE，則可得BC∥EF，從而證得四邊形BCEF是平行四邊形；（2）

試題分析：（1）由AF=DC可得AC=DF，再有AB=DE，∠A=∠D即可證得△ABC≌DEF，即得BC=EF，∠ACB=∠DFE，則可得BC∥EF，從而證得四邊形BCEF是平行四邊形；
（2）連接BE，交CF與點(diǎn)G，由四邊形BCEF是平行四邊形，可知當(dāng)BE⊥CF時(shí)，四邊形BCEF是菱形，先根據(jù)勾股定理求得AC的長(zhǎng)，證得△ABC∽△BGC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得CG的長(zhǎng)，從而可以求得結(jié)果.
（1）∵AF=DC，
∴AF+FC=DC+FC，即AC=DF
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌DEF（SAS），
∴BC=EF，∠ACB=∠DFE，
∴BC∥EF，
∴四邊形BCEF是平行四邊形；
（2）連接BE，交CF與點(diǎn)G，

∵四邊形BCEF是平行四邊形，
∴當(dāng)BE⊥CF時(shí)，四邊形BCEF是菱形，
∵∠ABC=90°，AB=4，BC=3，
∴AC==5，
∵∠BGC=∠ABC=90°，∠ACB=∠BCG，
∴△ABC∽△BGC，
∴=，即=，
∴CG=，
∵FG=CG，
∴FC=2CG=，
∴AF=AC﹣FC=5﹣=，
∴當(dāng)AF=時(shí)，四邊形BCEF是菱形．
點(diǎn)評(píng)：特殊四邊形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用是初中數(shù)學(xué)極為重要的知識(shí)，貫穿于整個(gè)初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，與各個(gè)知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系極為容易，是中考的熱點(diǎn).