【題目】已知:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點D為直線BC上一動點(點D不與B、C重合).以AD為邊作正方形ADEF,連接CF.
(1)如圖1,當點D在線段BC上時,求證:①BD⊥CF.②CF=BC﹣CD.
(2)如圖2,當點D在線段BC的延長線上時,其它條件不變,請直接寫出CF、BC、CD三條線段之間的關系;
(3)如圖3,當點D在線段BC的反向延長線上時,且點A、F分別在直線BC的兩側,其它條件不變:①請直接寫出CF、BC、CD三條線段之間的關系.②若連接正方形對角線AE、DF,交點為O,連接OC,探究△AOC的形狀,并說明理由.
【答案】
(1)
證明:①∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=45°,
∵四邊形ADEF是正方形,
∴AD=AF,∠DAF=90°,
∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°,
∠DAF=∠CAF+∠DAC=90°,
∴∠BAD=∠CAF,
在△BAD和△CAF中, ,
∴△BAD≌△CAF(SAS),
∴∠ACF=∠ABD=45°,
∴∠ACF+∠ACB=90°,
∴BD⊥CF;
②由①△BAD≌△CAF可得BD=CF,
∵BD=BC﹣CD,
∴CF=BC﹣CD;
(2)
與(1)同理可得BD=CF,
所以,CF=BC+CD
(3)
①與(1)同理可得,BD=CF,
所以,CF=CD﹣BC;
②∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=45°,
則∠ABD=180°﹣45°=135°,
∵四邊形ADEF是正方形,
∴AD=AF,∠DAF=90°,
∵∠BAC=∠BAF+∠CAF=90°,
∠DAF=∠BAD+∠BAF=90°,
∴∠BAD=∠CAF,
在△BAD和△CAF中, ,
∴△BAD≌△CAF(SAS),
∴∠ACF=∠ABD=180°﹣45°=135°,
∴∠FCD=∠ACF﹣∠ACB=90°,
則△FCD為直角三角形,
∵正方形ADEF中,O為DF中點,
∴OC= DF,
∵在正方形ADEF中,OA= AE,AE=DF,
∴OC=OA,
∴△AOC是等腰三角形
【解析】(1)①根據等腰直角三角形的性質可得∠ABC=∠ACB=45°,再根據正方形的性質可得AD=AF,∠DAF=90°,然后利用同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF,然后利用“邊角邊”證明△BAD和△CAF全等,根據全等三角形對應角相等可得∠ACF=∠ABD,再求出∠ACF+∠ACB=90°,從而得證;②根據全等三角形對應邊相等可得BD=CF,從而求出CF=BC﹣CD;(2)與(1)同理可得BD=CF,然后結合圖形可得CF=BC+CD;(3)①與(1)同理可得BD=CF,然后結合圖形可得CF=CD﹣BC;②根據等腰直角三角形的性質求出∠ABC=∠ACB=45°,再根據鄰補角的定義求出∠ABD=135°,再根據同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF,然后利用“邊角邊”證明△BAD和△CAF全等,根據全等三角形對應角相等可得∠ACF=∠ABD,再求出∠FCD=90°,然后根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出OC= DF,再根據正方形的對角線相等求出OC=OA,從而得到△AOC是等腰三角形.
【考點精析】根據題目的已知條件,利用等腰三角形的判定和正方形的性質的相關知識可以得到問題的答案,需要掌握如果一個三角形有兩個角相等,那么這兩個角所對的邊也相等(簡稱:等角對等邊).這個判定定理常用于證明同一個三角形中的邊相等;正方形四個角都是直角,四條邊都相等;正方形的兩條對角線相等,并且互相垂直平分,每條對角線平分一組對角;正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形;正方形的對角線與邊的夾角是45o;正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形.
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知OP平分∠AOB,∠AOB=60°,CP=2,CP∥OA,PD⊥OA于點D,PE⊥OB于點E.如果點M是OP的中點,則DM的長是( )
A. 2 B. C. D. 2
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【題目】已知:在△PAB的邊PA、PB上分別取點C、D,連接CD使CD∥AB.將△PCD繞點P按逆時針方向旋轉得到△PC′D′(∠APC′<∠APB),連接AC′、BD′.
(1)如圖1, 若∠APB=90°,PA=PB,求證:AC′=BD′;AC′⊥BD′.
(2)在圖1中,連接AD′、BC′,分別取AB、AD′、C′D′、BC′的中點E、F、G、H,順次連接E、F、G、H得到四邊形EFGH.請判斷四邊形EFGH的形狀,并說明理由.
(3)①如圖2, 若改變(1)中∠APB的大小,使0°<∠APB<90°,其他條件不變,重復(2)中操作.請你直接判斷四邊形EFGH的形狀.
②如圖3,若改變(1)中PA、PB的大小關系,使PA<PB,其他條件不變,重復(2)中操作,請你直接判斷是四邊形EFGH的形狀.
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【題目】某企業(yè)生產部統(tǒng)計了15名工人某月的加工零件數:
每人加工零件數 | 540 | 450 | 300 | 240 | 210 | 120 |
人數 | 1 | 1 | 2 | 6 | 3 | 2 |
(1)求出這15人該月加工零件數的平均數并直接寫出中位數和眾數;
(2)若生產部領導把每位工人的月加工零件數定為260件,你認為合理否,為什么?
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【題目】如圖,有一個可以自由轉動的轉盤被平均分成五個扇形,五個扇形內部分別標有數字.﹣2、3、﹣4、5.若將轉盤轉動兩次,每一次停止轉動后,指針指向的扇形內的數字分別記為m,n(當指針指在邊界線時視為無效,重轉),從而確定一個點的坐標為A(m,n).請用列表或者畫樹狀圖的方法求出所有可能得到的點A的坐標,并求出點A在第一象限內的概率.
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【題目】如圖,∠AOB=30°,點M、N分別在邊OA、OB上,且OM=1,ON=3,點P、Q分別在邊OB、OA上,則MP+PQ+QN的最小值是____________
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【題目】如圖,方格紙每個小方格是邊長為1個單位長度的正方形,在平面直角坐標系中,點A(1,0),B(5,0),C(a,b)D(1,4).
(1)描出A、B、C、D四點的位置.如圖,則a= ;b= ;
(2)四邊形ABCD的面積是 ;(直接寫出結果)
(3)把四邊形ABCD向左平移6個單位,再向下平移1個單位得到四邊形A'B'C'D',在圖中畫出四邊形A'B'C'D',并寫出A'B'C'D'的坐標.
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【題目】某單位計劃用3天時間進行設備檢修,安排小王,小李,小趙三位工程師各帶班一天,帶班順序是隨機確定的.
(1)請你寫出三天帶班順序的所有可能的結果;
(2)求小李和小趙恰好相鄰的概率.
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【題目】如圖,已知四邊形ABCD為正方形,AB=,點E為對角線AC上一動點,連接DE,過點E作EF⊥DE.交射線BC于點F,以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG,連接CG.
①求證:矩形DEFG是正方形;
②探究:CE+CG的值是否為定值?若是,請求出這個定值;若不是,請說明理由.
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