【題目】如圖,已知四邊形ABCD為正方形,AB=,點E為對角線AC上一動點,連接DE,過點E作EF⊥DE.交射線BC于點F,以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG,連接CG.
①求證:矩形DEFG是正方形;
②探究:CE+CG的值是否為定值?若是,請求出這個定值;若不是,請說明理由.
【答案】(1)見解析;(2) 是定值
【解析】分析:①作出輔助線,得到EN=EM,然后判斷∠DEN=∠FEM,得到△DEN≌△FEM,則有DE=EF即可;
②同①的方法證出△ADE≌△CDG得到CG=AE,得出CE+CG=CE+AE=AC=4即可.
詳解:①過E作EM⊥BC于M點,過E作EN⊥CD于N點,如圖所示:
∵正方形ABCD,
∴∠BCD=90°,∠ECN=45°,
∴∠EMC=∠ENC=∠BCD=90°, 且NE=NC,∴四邊形EMCN為正方形.
∵四邊形DEFG是矩形,∴EM=EN,∠DEN+∠NEF=∠MEF+∠NEF=90°,
∴∠DEN=∠MEF,又∠DNE=∠FME=90°.在△DEN和△FEM中,∵∠DNE=∠FME,EN=EM,∠DEN=∠FEM,∴△DEN≌△FEM(ASA),∴ED=EF,∴矩形DEFG為正方形,
②CE+CG的值為定值,理由如下:
∵矩形DEFG為正方形,∴DE=DG,∠EDC+∠CDG=90°.
∵四邊形ABCD是正方形,∵AD=DC,∠ADE+∠EDC=90°,
∴∠ADE=∠CDG.在△ADE和△CDG中,∵AD=CD,∠ADE=∠CDG,DE=DG,∴△ADE≌△CDG(SAS),∴AE=CG,
∴AC=AE+CE=AB=×2=4,∴CE+CG=4 是定值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點D為直線BC上一動點(點D不與B、C重合).以AD為邊作正方形ADEF,連接CF.
(1)如圖1,當(dāng)點D在線段BC上時,求證:①BD⊥CF.②CF=BC﹣CD.
(2)如圖2,當(dāng)點D在線段BC的延長線上時,其它條件不變,請直接寫出CF、BC、CD三條線段之間的關(guān)系;
(3)如圖3,當(dāng)點D在線段BC的反向延長線上時,且點A、F分別在直線BC的兩側(cè),其它條件不變:①請直接寫出CF、BC、CD三條線段之間的關(guān)系.②若連接正方形對角線AE、DF,交點為O,連接OC,探究△AOC的形狀,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1和2,四邊形ABCD是菱形,點P是對角線AC上一點,以點P為圓心,PB為半徑的弧,交BC的延長線于點F,連接PF,PD,PB.
(1)如圖1,點P是AC的中點,請寫出PF和PD的數(shù)量關(guān)系:;
(2)如圖2,點P不是AC的中點,
①求證:PF=PD.
②若∠ABC=40°,直接寫出∠DPF的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】自開展“學(xué)生每天鍛煉1小時”活動后,我市某中學(xué)根據(jù)學(xué)校實際情況,決定開設(shè)A:毽子,B:籃球,C:跑步,D:跳繩四種運(yùn)動項目.為了了解學(xué)生最喜歡哪一種項目,隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,并將調(diào)查結(jié)果繪制成如圖統(tǒng)計圖.請結(jié)合圖中信息解答下列問題:
(1)該校本次調(diào)查中,共調(diào)查了多少名學(xué)生?
(2)請將兩個統(tǒng)計圖補(bǔ)充完整;
(3)在本次調(diào)查的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人,他喜歡“跑步”的概率有多大?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知在紙面上有一數(shù)軸(如圖),折疊紙面.
(1)若表示﹣1的點與表示3的點重合,回答以下問題:
①表示5的點與表示數(shù)_________的點重合;
②若數(shù)軸上A、B兩點之間的距離為9(A在B的左側(cè)),且A、B兩點經(jīng)折疊后重合,求A、B兩點表示的數(shù)是多少?
(2)若點D表示的數(shù)為x,則當(dāng)x為_______時,|x+1|與|x﹣2|的值相等.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,平行四邊形ABCD的面積是16,對角線AC、BD相交于點O,點M1、N1、P1分別為線段OD、DC、CO的中點,順次連接M1N1、N1 P1、P1M1得到第一個△P1M1N1 , 面積為S1 , 分別取M1N1、N1P1、P1M1三邊的中點P2、M2、N2 , 得到第二個△P2M2N2 , 面積記為S2 , 如此繼續(xù)下去得到第n個△PnMnNn , 面積記為Sn , 則Sn﹣Sn﹣1= . (用含n的代數(shù)式表示,n≥2,n為整數(shù))
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某農(nóng)戶承包果樹若干畝,今年投資元,收獲水果總產(chǎn)量為千克.此水果在市場上每千克售元,在果園直接銷售每千克售元.該農(nóng)戶將水果拉到市場出售平均每天出售千克,需人幫忙,每人每天付工資元,農(nóng)用車運(yùn)費(fèi)及其他各項稅費(fèi)平均每天元.
分別用含,的代數(shù)式表示兩種方式出售水果的收入.
若元,元,且兩種出售水果方式都在相同的時間內(nèi)售完全部水果,請你通過計算說明選擇哪種出售方式較好.
該農(nóng)戶加強(qiáng)果園管理,力爭到明年純收入達(dá)到元,而且該農(nóng)戶采用了中較好的出售方式出售,那么純收入增長率是多少(純收入總收入-總支出)?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知:直線與雙曲線交于A.B兩點,且點A的橫坐標(biāo)為4, 若雙曲線上一點C的縱坐標(biāo)為8,連接AC.
(1)填空: k的值為_______; 點B的坐標(biāo)為___________;點C的坐標(biāo)為___________.
(2)直接寫出關(guān)于的不等式的解集.
(3)求三角形AOC的面積
(4) 若在x軸上有點M,y軸上有點N,且點M.N.A.C四點恰好構(gòu)成平行四邊形,直接寫出點M.N的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=8,BC=6,點M從點D出發(fā),以每秒2個單位長度的速度向點A運(yùn)動,同時,點N從點B出發(fā),以每秒1個單位長度的速度向點C運(yùn)動.其中一個動點到達(dá)終點時,另一個動點也隨之停止運(yùn)動.過點N作NP⊥AD于點P,連接AC交NP于點Q,連接MQ.設(shè)運(yùn)動時間為t秒.
(1)AM= ,AP= .(用含t的代數(shù)式表示)
(2)當(dāng)四邊形ANCP為平行四邊形時,求t的值
(3)如圖2,將△AQM沿AD翻折,得△AKM,是否存在某時刻t,
①使四邊形AQMK為為菱形,若存在,求出t的值;若不存在,請說明理由
②使四邊形AQMK為正方形,則AC= .
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