Question

【題目】已知：在△PAB的邊PA、PB上分別取點(diǎn)C、D，連接CD使CD∥AB．將△PCD繞點(diǎn)P按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△PC′D′（∠APC′＜∠APB），連接AC′、BD′．

（1）如圖1， 若∠APB=90°，PA=PB，求證：AC′=BD′；AC′⊥BD′．

（2）在圖1中，連接AD′、BC′，分別取AB、AD′、C′D′、BC′的中點(diǎn)E、F、G、H，順次連接E、F、G、H得到四邊形EFGH．請判斷四邊形EFGH的形狀，并說明理由．
（3）①如圖2， 若改變（1）中∠APB的大小，使0°＜∠APB＜90°，其他條件不變，重復(fù)（2）中操作．請你直接判斷四邊形EFGH的形狀．

②如圖3，若改變（1）中PA、PB的大小關(guān)系，使PA＜PB，其他條件不變，重復(fù)（2）中操作，請你直接判斷是四邊形EFGH的形狀．

Answer 1

【答案】
（1）

解：延長AC′交BD′于點(diǎn)M，

∵∠APB=90°，

∴∠PAB+∠PBA=90°．

∵PA=PB，

∴∠PAB=∠PBA．

∵CD∥AB，

∴∠PCD=∠PAB，∠PBA=∠PDC，

∴∠PCD=∠PDC，

∴PC=PD．

∵將△PCD繞點(diǎn)P按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△PC′D′，

∴∠APB=∠C′PD′，PC′=PC，PD′=PD．

∴∠APB﹣∠C′PB=∠C′PD′﹣∠C′PB，PC′=PD′．

∴∠APC′=∠BPD′．

在△AC′P和△BD′P中，

，

∴△AC′P≌△BD′P（SAS），

∴AC′=BD′，∠PAC′=∠PBD′．

∵∠PAC′+∠BAC′+∠ABP=90°，

∴∠BAC′+∠ABP+∠PBD′=90°，

∴∠MAB+∠ABM=90°，

∴∠AMB=90°，

∴AC′⊥BD′．

∴AC′=BD′；AC′⊥BD′；

（2）

解：四邊形EFGH是正方形．

∵點(diǎn)E、F、G、H分別是AB、AD′、C′D′、BC′的中點(diǎn)，

∴EF=GH= BD′，GF=EH= AC′，EF∥BD′，EH∥AM，

∴∠AEF=∠ABM，∠BEH=∠BAM，

∴∠AEF+∠BEH=90°，

∴∠FEH=90°

∵AC′=BD′，

∴EF=FG=GH=HE，

∴四邊形EFGH是正方形

（3）

解：①四邊形EFGH是菱形．

∵PA=PB，

∴∠PAB=∠PBA．

∵CD∥AB，

∴∠PCD=∠PAB，∠PBA=∠PDC，

∴∠PCD=∠PDC，

∴PC=PD．

∵將△PCD繞點(diǎn)P按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△PC′D′，

∴∠APB=∠C′PD′，PC′=PC，PD′=PD．

∴∠APB﹣∠C′PB=∠C′PD′﹣∠C′PB，PC′=PD′．

∴∠APC′=∠BPD′．

在△AC′P和△BD′P中，

，

∴△AC′P≌△BD′P（SAS），

∴AC′=BD′．

∵點(diǎn)E、F、G、H分別是AB、AD′、C′D′、BC′的中點(diǎn)，

∴EF=GH= BD′，GF=EH= AC′，

∵AC′=BD′，

∴EF=FG=GH=HE，

∴四邊形EFGH是菱形；

②四邊形EFGH是矩形．

如圖3，

延長AC′交BD′于點(diǎn)M，

∵將△PCD繞點(diǎn)P按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△PC′D′，

∴∠APB=∠C′PD′，PC′=PC，PD′=PD．

∴∠APB﹣∠C′PB=∠C′PD′﹣∠C′PB，．

∴∠APC′=∠BPD′．

∵CD∥AB，

∴ ，

∴ ．

∴△AC′P∽△BD′P，

∴∠PAC′=∠PBD′．

∵∠APB=90°，

∴∠PAC′+∠BAC′+∠ABP=90°，

∴∠BAC′+∠ABP+∠PBD′=90°，

∴∠MAB+∠ABM=90°．

∵點(diǎn)E、F、G、H分別是AB、AD′、C′D′、BC′的中點(diǎn)，

∴EF=GH= BD′，GF=EH= AC′，EF∥BD′，EH∥AM，

∴四邊形EFGH是平行四邊形．∠AEF=∠ABM，∠BEH=∠BAM，

∴∠AEF+∠BEH=90°，

∴∠FEH=90°，

∴平行四邊形EFGH是矩形．

【解析】（1）延長AC′交BD′于點(diǎn)M，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)就可以得出△AC′P≌△BD′P就可以得出AC′=BD′，∠PAC′=∠PBD′，由∠PAC′+∠BAC′+∠ABP=90°，就可以得出∠BAC′+∠ABP+∠PBD′=90°，即∠MAB+∠ABM=90°，就有∠AMB=90°，得出AC′⊥BD′；（2）根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)就可以得出EF=GH= BD′，GF=EH= AC′，由AC′=BD′就可以得出EF=FG=GH=HE，由平行線的性質(zhì)就可以得出∠AEF=∠ABM，∠BEH=∠BAM，就可以得出∠FEH=90°，進(jìn)而得出四邊形EFGH是正方形；（3）①由條件可以得出△AC′P≌△BD′P，就可以得出AC′=BD′，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)就可以得出EF=GH= BD′，GF=EH= AC′，由AC′=BD′就可以得出EF=FG=GH=HE，就有四邊形EFGH是菱形； ②延長AC′交BD′于點(diǎn)M，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)就可以得出△AC′P∽△BD′P，就有∠PAC′=∠PBD′，就有∠MAB+∠ABM=90°，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)就可以得出EF=GH= BD′，GF=EH= AC′，就可以得出四邊形EFGH是矩形．