【題目】如圖,P為正方形ABCD的邊BC上一動點(P與B、C不重合),連接AP,過點B作BQ⊥AP交CD于點Q,將△BQC沿BQ所在的直線對折得到△BQC′,延長QC′交BA的延長線于點M.
(1)試探究AP與BQ的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(2)當(dāng)AB=3,BP=2PC,求QM的長;
【答案】(1)證明略 ;(2)
【解析】
(1)要證AP=BQ,只需證△PBA≌△QCB即可;
(2)過點Q作QH⊥AB于H,如圖.易得QH=BC=AB=3,BP=2,PC=1,然后運用勾股定理可求得AP(即BQ)=,BH=2.易得DC∥AB,從而有∠CQB=∠QBA.由折疊可得∠C′QB=∠CQB,即可得到∠QBA=∠C′QB,即可得到MQ=MB.設(shè)QM=x,則有MB=x,MH=x-2.在Rt△MHQ中運用勾股定理就可解決問題;
解:(1)AP=BQ.
理由:∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=BC,∠ABC=∠C=90°,
∴∠ABQ+∠CBQ=90°.
∵BQ⊥AP,
∴∠PAB+∠QBA=90°,
∴∠PAB=∠CBQ.
在△PBA和△QCB中,
,
∴△PBA≌△QCB,
∴AP=BQ;
(2)過點Q作QH⊥AB于H,如圖.
∵四邊形ABCD是正方形,
∴QH=BC=AB=3.
∵BP=2PC,
∴BP=2,PC=1,
∴BQ=AP===,
∴BH===2.
∵四邊形ABCD是正方形,
∴DC∥AB,
∴∠CQB=∠QBA.
由折疊可得∠C′QB=∠CQB,
∴∠QBA=∠C′QB,
∴MQ=MB.
設(shè)QM=x,則有MB=x,MH=x-2.
在Rt△MHQ中,
根據(jù)勾股定理可得x2=(x-2)2+32,
解得x=.
∴QM的長為;
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【題目】下列說法正確的是( )
A. “清明時節(jié)雨紛紛”是必然事件
B. 了解路邊行人邊步行邊低頭看手機的情況可以采取對在路邊行走的學(xué)生隨機發(fā)放問卷的方式進(jìn)行調(diào)查
C. 射擊運動員甲、乙分別射擊10次且擊中環(huán)數(shù)的方差分別是0.5和1.2,則甲隊員的成績好
D. 分別寫有三個數(shù)字 -1,-2,4的三張卡片(卡片的大小形狀都相同),從中任意抽取兩張,則卡片上的兩數(shù)之積為正數(shù)的概率為
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【題目】已知:|m|=2,a,b互為相反數(shù),且都不為零,c,d互為倒數(shù).則2a+2b+(﹣3cd)﹣m的值是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列各小題中,都有OE平分∠AOC,OF平分∠BOC.
(1)如圖,若點A.O.B在一條直線上,則∠AOB與∠EOF的數(shù)量關(guān)系是:∠AOB=_____∠EOF.
(2)如圖,若點A.O.B不在一條直線上,則題(1)中的數(shù)量關(guān)系是否成立?請說明理由.
(3)如圖,若OA在∠BOC的內(nèi)部,則題(1)中的數(shù)量關(guān)系是否仍成立?請說明理由
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,點、、在同一直線上,是的平分線,,,.
(1)求的度數(shù)(請寫出解題過程).
(2)如以為一邊,在的外部畫,問邊與邊成一直線嗎?請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,以AC為直徑作⊙O,交AB于D,過點O作OE∥AB,交BC于E.
(1)求證:ED為⊙O的切線;
(2)如果⊙O的半徑為,ED=2,延長EO交⊙O于F,連接DF、AF,求△ADF的面積.
【答案】(1)證明見解析;(2)
【解析】試題分析:(1)首先連接OD,由OE∥AB,根據(jù)平行線與等腰三角形的性質(zhì),易證得≌ 即可得,則可證得為的切線;
(2)連接CD,根據(jù)直徑所對的圓周角是直角,即可得 利用勾股定理即可求得的長,又由OE∥AB,證得根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例,即可求得的長,然后利用三角函數(shù)的知識,求得與的長,然后利用S△ADF=S梯形ABEF-S梯形DBEF求得答案.
試題解析:(1)證明:連接OD,
∵OE∥AB,
∴∠COE=∠CAD,∠EOD=∠ODA,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∴∠COE=∠DOE,
在△COE和△DOE中,
∴△COE≌△DOE(SAS),
∴ED⊥OD,
∴ED是的切線;
(2)連接CD,交OE于M,
在Rt△ODE中,
∵OD=32,DE=2,
∵OE∥AB,
∴△COE∽△CAB,
∴AB=5,
∵AC是直徑,
∵EF∥AB,
∴S△ADF=S梯形ABEFS梯形DBEF
∴△ADF的面積為
【題型】解答題
【結(jié)束】
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【題目】【題目】已知,拋物線y=ax2+ax+b(a≠0)與直線y=2x+m有一個公共點M(1,0),且a<b.
(1)求b與a的關(guān)系式和拋物線的頂點D坐標(biāo)(用a的代數(shù)式表示);
(2)直線與拋物線的另外一個交點記為N,求△DMN的面積與a的關(guān)系式;
(3)a=﹣1時,直線y=﹣2x與拋物線在第二象限交于點G,點G、H關(guān)于原點對稱,現(xiàn)將線段GH沿y軸向上平移t個單位(t>0),若線段GH與拋物線有兩個不同的公共點,試求t的取值范圍.
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【題目】2019年7月7日,國務(wù)院辦公廳發(fā)布《國務(wù)院辦公廳關(guān)于同意山西省承辦2019年第二屆全國青年運動會的函》,本屆運動會初步確定在2019年8月至9月份舉辦,歷時8至10天,預(yù)計約有55個代表團參賽,為了讓每位運動員在比賽之余能有一個較好的療養(yǎng)鍛煉的環(huán)境,二青會籌備委員會,決定從某公司采購甲、乙兩種健身器材共800件,已知購買2件甲器材與3件乙器材的價格相同,購買3件甲器材比2件乙器材的價格多1500元.
(1) 每件甲乙兩種器材各多少元?
(2) 若購買甲、乙兩種器材的價格不超過54萬元,則最多可購買甲種器材多少件?
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【題目】在咸寧創(chuàng)建“國家衛(wèi)生城市”的活動中,市園林公司加大了對市區(qū)主干道兩旁植“景觀樹”的力度,平均每天比原計劃多植5棵,現(xiàn)在植60棵所需的時間與原計劃植45棵所需的時間相同,問現(xiàn)在平均每天植多少棵樹?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,將一條數(shù)軸在原點O和點B處各折一下,得到一條“折線數(shù)軸”.圖中點A表示﹣11,點B表示10,點C表示18,我們稱點A和點C在數(shù)軸上相距29個長度單位.動點P從點A出發(fā),以2單位/秒的速度沿著“折線數(shù)軸”的正方向運動,從點O運動到點B期間速度變?yōu)樵瓉淼囊话,之后立刻恢?fù)原速;同時,動點Q從點C出發(fā),以1單位/秒的速度沿著數(shù)軸的負(fù)方向運動,從點B運動到點O期間速度變?yōu)樵瓉淼膬杀叮笠擦⒖袒謴?fù)原速.設(shè)運動的時間為t秒.
問:(1)動點P從點A運動至C點需要多少時間?
(2)P、Q兩點相遇時,求出相遇點M所對應(yīng)的數(shù)是多少;
(3)求當(dāng)t為何值時,P、O兩點在數(shù)軸上相距的長度與Q、B兩點在數(shù)軸上相距的長度相等.
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