Question

7．如圖AB是半圓直徑，半徑OC⊥AB于點O，AD平分∠CAB分別交OC于點E，交弧BC于點D，連結(jié)CD、OD，給出以下5個結(jié)論：
①OD∥AC；
②AC=2CD；
③2CD²=CE•AB；
④S_△AEC=2S_△DEO；
⑤線段OD是DE與DA的比例中項．
其中正確結(jié)論的序號（　�。�

• A． ①②③
• B． ①④⑤
• C． ①③④
• D． ①③④⑤

Answer 1

分析 ①根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，利用等量代換求證∠CAD=∠ADO即可；
②過點O作OG⊥AC，再根據(jù)直角三角形斜邊大于直角邊可證；
③可證得△CED∽△CDO，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，可得CD²=OC•CE=$\frac{1}{2}$AB•CE，即可證得結(jié)論；
④利用相似三角形的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)得出即可；
⑤△ADO和△DOE不相似，故線段OD不是DE與DA的比例中項．

解答 解：①∵AB是半圓直徑，
∴AO=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∵AD平分∠CAB交弧BC于點D，
∴∠CAD=∠DAO=$\frac{1}{2}$∠CAB，
∴∠CAD=∠ADO，
∴AC∥OD，
∴故①正確．

②如圖1，過點O作OG⊥AC，連接CG，AG，
∵OG⊥AC，
∴$\widehat{AG}$=$\widehat{CG}$，
∵半徑OC⊥AB于點O，
∴$\widehat{AG}$=$\widehat{CG}$=$\widehat{CD}$，
∴AG=GC=CD，
∴AC＜2CD，
∴故②錯誤．

③∵AB是半圓直徑，
∴OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC=67.5°，
∵∠CAD=∠ADO=22.5°，
∴∠CDE=∠ODC-∠ADO=67.5°-22.5°=45°，
∴△CED∽△CDO，
∴CD：OC=CE：CD，
∴CD²=OC•CE=$\frac{1}{2}$AB•CE，
∴2CD²=CE•AB．
故③正確．

④如圖2，過點E作EM⊥AC于點M，
∵AO=CO，AO⊥CO，
∴∠CAO=∠ACO=45°，
∴CM=ME，
∵AD平分∠CAB分別交OC于點E，
EO⊥AO，EM⊥AC，
∴ME=EO，
∴CM=ME=EO，
∴CE=$\sqrt{2}$ME=$\sqrt{2}$EO，
由①得：∵AC∥OD，
∴△ACE∽△DOE，
∴$\frac{EC}{EO}$=$\sqrt{2}$，
∴$\frac{{S}_{△AEC}}{{S}_{△DEO}}$=（$\sqrt{2}$）²=2，
∴S_△AEC=2S_△DEO；
故④正確，

⑤∵AD平分∠CAB交弧BC于點D，
∴∠CAD=∠DAC=$\frac{1}{2}$×45°=22.5°，
∴∠COD=45°，
∵AC∥DO，
∴∠CAD=∠ADO=22.5°，
∴△ADO是等腰三角形，
△DOE中，∠ADO=22.5°，∠EOD=45°，
∴△ADO和△DOE不相似，
∴線段OD不是DE與DA的比例中項，
∴故⑤錯誤．
綜上所述，只有①③④正確．
故選C．

點評 此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，圓心角、弧、弦的關(guān)系，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識點的靈活運用，此題步驟繁瑣，但相對而言，難易程度適中，很適合學(xué)生的訓(xùn)練是一道典型的題目．