Question

19．一串數(shù)：$\frac{1}{1}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{4}$，…
（1）第800個數(shù)是多少？
（2）$\frac{5}{17}$是第幾個數(shù)？
（3）前552個數(shù)的和是多少？
（4）前n個數(shù)的和能否等于106，如果能，試求出n的值，如果不能，試說明理由．

Answer 1

分析 分母是1的分數(shù)有1個，分母是2的分數(shù)由3個，分母是3的分數(shù)有5個，…分母是n的分數(shù)有2n-1個；分子都是從1開始到與分母的數(shù)字相同連續(xù)的自然數(shù)，再倒數(shù)回到1，由此規(guī)律解決問題：
（1）首先要計算第800個數(shù)之前最大的平方是：當n=28時，n²=784，第784個數(shù)是分母為28的最后一個數(shù)，
所以可以找到第800個數(shù)；
（2）先找分母是16的最后一個數(shù)是第16²個數(shù)，16²=256，再向右數(shù)5個即可，因為同一個分母的數(shù)除中間為1的數(shù)是一個外，其余都是2個，所以倒數(shù)第5個數(shù)也是$\frac{5}{17}$，得出結(jié)論；
（3）同（1）同理，先計算第552個數(shù)之前最大的平方數(shù)：當n=23時，n²=529，先計算分母為1至23的所有分數(shù)之和：1+2+3+…+23的值，再確定第529到552之間數(shù)的和，最后相加即可；
（4）因為分母為n的分數(shù)有2n-1個，且這2n-1個分數(shù)相加和為n．所以前分母為n的分數(shù)之和=$\frac{n（n+1）}{2}$，確定當n為最大時，最接近106時的n=14，即前196個數(shù)的和=$\frac{14×15}{2}$=105，與106還相差1，分母為15的分數(shù)能否達到幾個分數(shù)和為1，來判斷．

解答 解：觀察數(shù)列$\frac{1}{1}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{4}$，…，
可發(fā)現(xiàn)：分母為1的分數(shù)有1個，分母為2的數(shù)有3個，分母為3的數(shù)有5個，
∴可得出：分母為n的分數(shù)有2n-1個，且這2n-1個分數(shù)相加和為n．
第1²個是分母為1的最后一個，
第2²個是分母為2的最后一個，
…
第n²個是分母n的最后一個
（1）∵1+3+5+…+2n-1=n²，
∴令n²≤800，
解得：n≤28，
當n=28時，n²=784，
∴第784個數(shù)是分母為28的最后一個數(shù)，
∴第800個數(shù)的分母為29，分子為800-784=16，
∴第800個數(shù)為$\frac{16}{29}$．
（2）∵16²+5=256+5=261，
17²-4=289-4=285，
∴$\frac{5}{17}$是第261個數(shù)或第285個數(shù)．
（3）令n²≤552，
解得：n≤23，
當n=23時，n²=529，
即前529個數(shù)的和=1+2+3+…+23=24×11+12=276，
第530至第552個數(shù)之間一共有：552-530+1=23個數(shù)，
第530至第552個數(shù)的和為：$\frac{1}{24}$+$\frac{2}{24}$+$\frac{3}{24}$+…+$\frac{23}{24}$=$\frac{276}{24}$=11.5，
∴前552個數(shù)的和是：276+11.5=287.5；
（4）分母為n時，前n²個數(shù)的和為：$\frac{n（n+1）}{2}$，
當n=14時，前14²=196個數(shù)的和為：$\frac{14×15}{2}$=105，
第197個數(shù)開始為分母是15的數(shù)：$\frac{1}{15}$+$\frac{2}{15}$+$\frac{3}{15}$+$\frac{4}{15}$+$\frac{5}{15}$=1，
105+1=106，
所以存在前n個數(shù)的和等于106，此時n=196+5=201．

點評 此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，難度較大，找出數(shù)字之間的聯(lián)系，得出規(guī)律，解決問題．