已知等差數列中，，，令，數列的前n項和為.

（1）求的通項公式；

（2）求證：；

（3）通過對數列的探究，寫出“成等比數列”的一個真命題并說明理由（，）.

  說明：對于第（3）題，將根據對問題探究的完整性，給予不同的評分.

已知數列是一個等差數列，且，。

（Ⅰ）求的通項；

（Ⅱ）求前n項和的最大值．

【解析】（1）根據，和等差數列的通項公式，，求；

（2）求出，求最大項。

 

（理）已知等差數列{a_n}中，a₃=7，a₁+a₂+a₃=12，令b_n=a_na_n+1，數列{

1

bn

}的前n項和為T_n．n∈N*．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）求證：Tn＜

1

3

；
（3）通過對數列{T_n}的探究，寫出“T₁，T_m，T_n成等比數列”的一個真命題并說明理由（1＜m＜n，m，n∈N*）．
說明：對于第（3）題，將根據對問題探究的完整性，給予不同的評分．

定義：如果數列{a_n}的任意連續(xù)三項均能構成一個三角形的三邊長，則稱{a_n}為“三角形”數列．對于“三角形”數列{a_n}，如果函數y=f（x）使得b_n=f（a_n）仍為一個“三角形”數列，則稱y=f（x）是數列{a_n}的“保三角形函數”，（n∈N^﹡）．
（1）已知{a_n}是首項為2，公差為1的等差數列，若f（x）=k^x，（k＞1）是數列{a_n}的“保三角形函數”，求k的取值范圍；
（2）已知數列{c_n}的首項為2010，S_n是數列{c_n}的前n項和，且滿足4S_n+1-3S_n=8040，證明{c_n}是“三角形”數列；
（3）[文科]若g（x）=lgx是（2）中數列{c_n}的“保三角形函數”，問數列{c_n}最多有多少項．
[理科]根據“保三角形函數”的定義，對函數h（x）=-x²+2x，x∈[1，A]，和數列1，1+d，1+2d，（d＞0）提出一個正確的命題，并說明理由．

定義：如果數列的任意連續(xù)三項均能構成一個三角形的三邊長，則稱為“三角形”數列．對于“三角形”數列，如果函數使得仍為一個“三角形”數列，則稱是數列的“保三角形函數”，.

（Ⅰ）已知是首項為2，公差為1的等差數列，若是數列的“保三角形函數”，求k的取值范圍；

（Ⅱ）已知數列的首項為2010，是數列的前n項和，且滿足，證明是“三角形”數列；

（Ⅲ）根據“保三角形函數”的定義，對函數，，和數列1，，，（）提出一個正確的命題，并說明理由．