Question

（理）已知等差數列{a_n}中，a₃=7，a₁+a₂+a₃=12，令b_n=a_na_n+1，數列{

1

bn

}的前n項和為T_n．n∈N*．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）求證：Tn＜

1

3

；
（3）通過對數列{T_n}的探究，寫出“T₁，T_m，T_n成等比數列”的一個真命題并說明理由（1＜m＜n，m，n∈N*）．
說明：對于第（3）題，將根據對問題探究的完整性，給予不同的評分．

Answer 1

分析：（1）由已知，利用通項公式，列出關于a₁，d的關系式，并解即可．
（2）在（1）的基礎上能得出

1

bn

=

1

(3n-2)(3n+1)

=

1

3

(

1

3n-2

-

1

3n+1

)，裂項后求和．
（3）根據等比數列的定義，應有(

m

3m+1

)2=

1

4

n

3n+1

即

6m+1

m2

=

3n+4

n

．通過此二元方程解的情況去解決．

解答：（1）設數列{a_n}的公差為d，由a₃=a₁+2d=7，a₁+a₂+a₃=3a₁+3d=12．解得a₁=1，d=3∴a_n=3n-2．n∈N*…（4分）
（2）b_n=a_na_n+1=（3n-2）（3n+1）
∴

1

bn

=

1

(3n-2)(3n+1)

=

1

3

(

1

3n-2

-

1

3n+1

)∴Tn=

1

3

(1-

1

3n+1

)＜

1

3

；（8分）
（3）由（2）知，Tn=

n

3n+1

∴T1=

1

4

，Tm=

m

3m+1

，Tn=

n

3n+1

若T₁，T_m，T_n成等比數列，則(

m

3m+1

)2=

1

4

n

3n+1

即

6m+1

m2

=

3n+4

n

．…（10分）
以下（6分）按3個層次評分
第一層次滿分（3分）：
例如：因為

3n+4

n

=3+

4

n

＞3，所以只有滿足

6m+1

m2

＞3的大于1的正整數m，才有可能使得

6m+1

m2

=

3n+4

n

成立                           …（13分）
或者取具體數值探究如：
當m=2時，

13

4

=

3n+4

n

，n=16，符合題意；
當m=3時，

19

9

=

3n+4

n

，n無正整數解；
當m=4時，

25

16

=

3n+4

n

，n無正整數解；
當m=5時，

31

25

=

3n+4

n

，n無正整數解；
當m=6時，

37

36

=

3n+4

n

，n無正整數解；         …（13分）
或者描述性說明，如：
因為

lim

n→∞

3n+4

n

=3，

lim

m→∞

6m+1

m2

=0，所以只有當m取值較小時，才有可能使得

6m+1

m2

=

3n+4

n

成立                                  …（13分）
第二層次3+（2分）：
在第一層次的基礎上繼續(xù)探究，并明確指出：當正整數m=2，n=16時，T₁，T_m，T_n成等比數列．如：
不等式

6m+1

m2

＞3即3m²-6m-1＜0，解得1-

2 3

3

＜m＜1+

2 3

3

，所以m=1（舍去），m=2．當m=2時，

13

4

=

3n+4

n

，n=16，符合題意；所以當正整數m=2，n=16時，T₁，T_m，T_n成等比數列．…（15分）
（注：1-

2 3

3

≈-0.155，1+

2 3

3

≈2.155）
或者如：當m≥7時，m²-6m-1=（m-3）²-10＞0，則

6m+1

m2

＜1，而

3n+4

n

=3+

4

n

＞3，所以，此時不存在正整數m，n，且1＜m＜n，使得T₁，T_m，T_n成等比數列．所以當正整數m=2，n=16時，T₁，T_m，T_n成等比數列．…（15分）
第三層次5+（1分）：
在前面探索的基礎上，寫出“T₁，T_m，T_n成等比數列”的真命題：當且僅當正整數m=2，n=16時，T₁，T_m，T_n成等比數列．…（16分）
（說明：對問題探究的完整性體現(xiàn)在過程中即可）

點評：本題考查等差數列定義、通項公式、裂項法求和．不定方程解的判斷．考查分析解決問題、計算能力．