已知點(diǎn)P是直角坐標(biāo)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P到直線l₁：x=-2的距離為d₁，到點(diǎn)F（-1，0）的距離為d₂，且

d2

d1

=

2

2

．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P所在曲線C的方程；
（2）直線l過點(diǎn)F且與曲線C交于不同兩點(diǎn)A、B（點(diǎn)A或B不在x軸上），分別過A、B點(diǎn)作直線l₁：x=-2的垂線，對應(yīng)的垂足分別為M、N，試判斷點(diǎn)F與以線段MN為直徑的圓的位置關(guān)系（指在圓內(nèi)、圓上、圓外等情況）；
（3）記S₁=S_△FAM，S₂=S_△FMN，S₃=S_△FBN（A、B、M、N是（2）中的點(diǎn)），問是否存在實(shí)數(shù)λ，使S₂²=λS₁S₃成立．若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．
進(jìn)一步思考問題：若上述問題中直線l1：x=-

a2

c

、點(diǎn)F（-c，0）、曲線C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0，c=

a2-b2

)，則使等式S₂²=λS₁S₃成立的λ的值仍保持不變．請給出你的判斷 （填寫“不正確”或“正確”）（限于時(shí)間，這里不需要舉反例，或證明）．

已知點(diǎn)P是直角坐標(biāo)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P到直線l₁：x=-2的距離為d₁，到點(diǎn)F（-1，0）的距離為d₂，且．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P所在曲線C的方程；
（2）直線l過點(diǎn)F且與曲線C交于不同兩點(diǎn)A、B（點(diǎn)A或B不在x軸上），分別過A、B點(diǎn)作直線l₁：x=-2的垂線，對應(yīng)的垂足分別為M、N，試判斷點(diǎn)F與以線段MN為直徑的圓的位置關(guān)系（指在圓內(nèi)、圓上、圓外等情況）；
（3）記S₁=S_△FAM，S₂=S_△FMN，S₃=S_△FBN（A、B、M、N是（2）中的點(diǎn)），問是否存在實(shí)數(shù)λ，使S₂²=λS₁S₃成立．若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．
進(jìn)一步思考問題：若上述問題中直線、點(diǎn)F（-c，0）、曲線C：，則使等式S₂²=λS₁S₃成立的λ的值仍保持不變．請給出你的判斷______ （填寫“不正確”或“正確”）（限于時(shí)間，這里不需要舉反例，或證明）．

現(xiàn)有變換公式T：可把平面直角坐標(biāo)系上的一點(diǎn)P（x，y）變換到這一平面上的一點(diǎn)P′（x′，y′）．
（1）若橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且焦距為，長軸頂點(diǎn)和短軸頂點(diǎn)間的距離為2．求該橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，并求出其兩個(gè)焦點(diǎn)F₁、F₂經(jīng)變換公式T變換后得到的點(diǎn)F₁^′和F₂^′的坐標(biāo)；
（2）若曲線M上一點(diǎn)P經(jīng)變換公式T變換后得到的點(diǎn)P'與點(diǎn)P重合，則稱點(diǎn)P是曲線M在變換T下的不動(dòng)點(diǎn)．求（1）中的橢圓C在變換T下的所有不動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）在（2）的基礎(chǔ)上，試探究：中心為坐標(biāo)原點(diǎn)、對稱軸為坐標(biāo)軸的橢圓和雙曲線在變換T下的不動(dòng)點(diǎn)的存在情況和個(gè)數(shù)．

現(xiàn)有變換公式T：

4 5 x+ 3 5 y=x′ 3 5 x- 4 5 y=y′

可把平面直角坐標(biāo)系上的一點(diǎn)P（x，y）變換到這一平面上的一點(diǎn)P′（x′，y′）．
（1）若橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且焦距為2

2

，長軸頂點(diǎn)和短軸頂點(diǎn)間的距離為2．求該橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，并求出其兩個(gè)焦點(diǎn)F₁、F₂經(jīng)變換公式T變換后得到的點(diǎn)F₁^′和F₂^′的坐標(biāo)；
（2）若曲線M上一點(diǎn)P經(jīng)變換公式T變換后得到的點(diǎn)P'與點(diǎn)P重合，則稱點(diǎn)P是曲線M在變換T下的不動(dòng)點(diǎn)．求（1）中的橢圓C在變換T下的所有不動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）在（2）的基礎(chǔ)上，試探究：中心為坐標(biāo)原點(diǎn)、對稱軸為坐標(biāo)軸的橢圓和雙曲線在變換T下的不動(dòng)點(diǎn)的存在情況和個(gè)數(shù)．

定義變換T：可把平面直角坐標(biāo)系上的點(diǎn)P（x，y）變換到這一平面上的點(diǎn)P′（x′，y′）．特別地，若曲線M上一點(diǎn)P經(jīng)變換公式T變換后得到的點(diǎn)P'與點(diǎn)P重合，則稱點(diǎn)P是曲線M在變換T下的不動(dòng)點(diǎn)．
（1）若橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且焦距為，長軸頂點(diǎn)和短軸頂點(diǎn)間的距離為2．求該橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．并求出當(dāng)時(shí)，其兩個(gè)焦點(diǎn)F₁、F₂經(jīng)變換公式T變換后得到的點(diǎn)F_1^′和F₂^′的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)時(shí)，求（1）中的橢圓C在變換T下的所有不動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）試探究：中心為坐標(biāo)原點(diǎn)、對稱軸為坐標(biāo)軸的雙曲線在變換T：（，k∈Z）下的不動(dòng)點(diǎn)的存在情況和個(gè)數(shù)．