Question

定義變換T：可把平面直角坐標(biāo)系上的點(diǎn)P（x，y）變換到這一平面上的點(diǎn)P′（x′，y′）．特別地，若曲線M上一點(diǎn)P經(jīng)變換公式T變換后得到的點(diǎn)P'與點(diǎn)P重合，則稱點(diǎn)P是曲線M在變換T下的不動(dòng)點(diǎn)．
（1）若橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且焦距為，長(zhǎng)軸頂點(diǎn)和短軸頂點(diǎn)間的距離為2．求該橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．并求出當(dāng)時(shí)，其兩個(gè)焦點(diǎn)F₁、F₂經(jīng)變換公式T變換后得到的點(diǎn)F_1^′和F₂^′的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)時(shí)，求（1）中的橢圓C在變換T下的所有不動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）試探究：中心為坐標(biāo)原點(diǎn)、對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸的雙曲線在變換T：（，k∈Z）下的不動(dòng)點(diǎn)的存在情況和個(gè)數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（a＞b＞0），求出c，a，b然后結(jié)合定義變換T，求出點(diǎn)F_1^′和F₂^′的坐標(biāo)．
（2）時(shí)，利用（1）中的橢圓C在變換T下，點(diǎn)P（x，y）∈C，根據(jù)橢圓方程求出的不動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）設(shè)P（x，y）是雙曲線在變換下的不動(dòng)點(diǎn)，推出，設(shè)雙曲線方程為（mn＜0），代入，推出 討論mn＜0，故當(dāng)時(shí)，方程無解；
當(dāng)時(shí)，要使不動(dòng)點(diǎn)存在，則需，
因?yàn)閙n＜0，故當(dāng)時(shí)，雙曲線在變換T下一定有2個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，否則不存在不動(dòng)點(diǎn)．
進(jìn)一步分類：
（i）當(dāng)n＜0，m＞0下一定有2個(gè)不動(dòng)點(diǎn)；
（ii）當(dāng)n＞0，m＜0時(shí)，雙曲線在變換T下一定有2個(gè)不動(dòng)點(diǎn)．
解答：解：（1）設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（a＞b＞0），
由橢圓定義知焦距，即a²-b²=2①．
又由條件得a²+b²=4②，故由①、②可解得a²=3，b²=1．
即橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
且橢圓C兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和．
對(duì)于變換T：，當(dāng)時(shí)，
可得
設(shè)F₁^′（x₁，y₁）和F₂^′（x₂，y₂）分別是由和的坐標(biāo)由變換公式T變換得到．于是，，即F₁^′的坐標(biāo)為；
又即F₂^′的坐標(biāo)為．
（2）設(shè)P（x，y）是橢圓C在變換T下的不動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，
有⇒x=3y，由點(diǎn)P（x，y）∈C，即P（3y，y）∈C，
得：，因而橢圓
的不動(dòng)點(diǎn)共有兩個(gè)，分別為和．
（3）設(shè)P（x，y）是雙曲線在變換
下的不動(dòng)點(diǎn)，則由⇒
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024182019249055396/SYS201310241820192490553021_DA/33.png">，k∈Z，故．
不妨設(shè)雙曲線方程為（mn＜0），由代入得
則有，
因?yàn)閙n＜0，故當(dāng)時(shí)，方程無解；
當(dāng)時(shí)，要使不動(dòng)點(diǎn)存在，則需，
因?yàn)閙n＜0，故當(dāng)時(shí)，雙曲線在變換T下一定有2個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，否則不存在不動(dòng)點(diǎn)．
進(jìn)一步分類可知：
（i）當(dāng)n＜0，m＞0時(shí)，即雙曲線的焦點(diǎn)在
軸上時(shí)，；
此時(shí)雙曲線在變換
下一定有2個(gè)不動(dòng)點(diǎn)；
（ii）當(dāng)n＞0，m＜0時(shí)，即雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，．
此時(shí)雙曲線在變換T下一定有2個(gè)不動(dòng)點(diǎn)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查解橢圓的應(yīng)用，橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查分析問題解決問題的能力，轉(zhuǎn)化思想，計(jì)算能力，分類討論思想，是難題，創(chuàng)新題．