16.(本小題滿(mǎn)分8分)設(shè)f(x)是一次函數(shù)，f(8)=15,且f(2),f(5),f(4)成等比數(shù)列，求.

分析 本題為函數(shù)、數(shù)列、極限的一道綜合題.解題關(guān)鍵是先利用待定系數(shù)法確定f(x)的解析式，再求f(1)+f(2)+…+f(n),然后利用極限的運(yùn)算法則求極限.

解 設(shè)f(x)=kx+b,

由條件，得8k+b=15,∴b=15-8k.

∵f (2), f (5), f (4)成等比數(shù)列,

∴(5k+b)²=(2k+b)(4k+b). 　　　2分

把b=15-8k代入，

得(15-3k)²=(15-6k)(15-4k).

解得k=4,k=0(舍),b=-17.

∴f(x)=4x-17.　　　 4分

∴f(1)+f(2)+…+f(n)

=(4×1-17)+(4×2-17)+…+(4×n-17)

=4×(1+2+…+n)-17n

=4·-17n=2n²-15n.　　 6分

∴

=　　　8分

15.(本小題滿(mǎn)分8分)平面內(nèi)有n個(gè)圓,其中每?jī)蓚�(gè)圓都相交于兩點(diǎn),并且每三個(gè)圓都不相交于同一點(diǎn),求證:n個(gè)圓把平面分成f(n)=n²-n+2個(gè)部分.

分析 本題的關(guān)鍵在于如何應(yīng)用歸納假設(shè)及已知條件分析當(dāng)n=k+1時(shí),第k+1個(gè)圓與其他k個(gè)圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù),做到有目的的變形.

證明 (1)當(dāng)n=1時(shí),一個(gè)圓把平面分成兩部分,又1²-1+2=2,故命題成立.

(2)假設(shè)n=k(k∈N*)時(shí),命題成立,即滿(mǎn)足題設(shè)條件的k個(gè)圓把平面分成f(k)=k²-k+2個(gè)部分.2分

那么當(dāng)n=k+1時(shí),設(shè)第k+1個(gè)圓為⊙O,由題意,它與k個(gè)圓中每個(gè)圓交于兩點(diǎn),又無(wú)三個(gè)圓交于同一點(diǎn),于是它與其他k個(gè)圓交于2k個(gè)點(diǎn),這些點(diǎn)把⊙O分成2k條弧,即f(k+1)=f(k)+2k=k²-k+2+2k=(k+1)²-(k+1)+2.　　 6分

這就是說(shuō),當(dāng)n=k+1時(shí),命題也成立.

綜上可知,對(duì)一切n∈N*,命題都成立.　　 8分

14.已知,則a的值為　　　　　 .

分析　本題考查f(x)的極限.因?yàn)榘?i>x=x₀代入分式的分子,分子不為0.又因?yàn)?sub>f(x)存在,所以把x=x₀代入分母,分母必不為0.故采用直接代入法即可求極限.

解 ∵

答案

13.★設(shè)函數(shù)在x=0處連續(xù),則實(shí)數(shù)a的值為　　　　　 .

分析 本題考查函數(shù)的極限及函數(shù)f(x)在點(diǎn)x₀處連續(xù)的定義.

解 ∵函數(shù)f(x)在點(diǎn)x₀處連續(xù),

又∵f(0)=a,∴a=.

答案

12.()=　　　　　　　　　 .

分析 本題考查數(shù)列極限的運(yùn)算.此題屬于“∞-∞”型,應(yīng)先分子有理化,再求極限.

解 (n-n+1)==

答案 0

11.用數(shù)學(xué)歸納法證明,假設(shè)n=k時(shí),不等式成立,則當(dāng)n=k+1時(shí),應(yīng)推證的目標(biāo)不等式是　　　　　　　 .

解析 因?yàn)樽宰兞咳?i style='mso-bidi-font-style:normal'>n時(shí),不等式的左邊為n項(xiàng)和的形式,所以當(dāng)n=k+1時(shí)應(yīng)為k+1項(xiàng)的和,它們是,右邊只需把n=k+1代入即可,它們是,故應(yīng)推證的不等式是

答案

10. 則a的取值范圍是(　　 )

A.a=1　　　　　　　　　　　　 B.a＜-1或a＞

C.-1＜a＜　　　　　　　　　　 D.a＜-或a＞1

分析 本題考查極限qⁿ=0,|q|＜1.要求a的范圍,可列a的不等式,要注意分式不等式的解法.

解法一 ∵()ⁿ=0,∴||＜1

∴a＜-1或a＞.

解法二 本題可利用特殊值代入法,當(dāng)a=1時(shí)成立,排除C、D.再令a=,∵()ⁿ=0成立,∴排除A.

答案 B

第Ⅱ卷(非選擇題共60分)

9.★用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“n³+(n+1)³+(n+2)³(n∈N)能被9整除”,要利用歸納假設(shè)證n=k+1時(shí)的情況,只需展開(kāi)(　　)

A.(k+3)³　　　　　B.(k+2)³

C.(k+1)³D.(k+1)³+(k+2)³

分析　本題考查用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問(wèn)題.只需把n=k+1時(shí)的情況拼湊成一部分為假設(shè)的形式,另一部分為除數(shù)的倍數(shù)形式即可.

解　當(dāng)n=k+1時(shí),被除數(shù)為(k+1)³+(k+2)³+(k+3)³=k³+(k+1)³+(k+2)³+9(k²+3k+3).故只需展開(kāi)(k+3)³即可.

答案　A

8.★欲用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)于足夠大的自然數(shù)n,總有2_n>n³,n₀為驗(yàn)證的第一個(gè)值,則(　　 )

A.n₀=1

B.n₀為大于1小于10的某個(gè)整數(shù)

C.n₀≥10

D.n₀=2

解析 本題考查用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題時(shí),第一步初始值n₀的確定.不能認(rèn)為初始值都從n₀=1開(kāi)始,需根據(jù)實(shí)際題目而定.當(dāng)1≤n＜10時(shí),2ⁿ與n³的大小不確定,而當(dāng)n≥10時(shí),總有2ⁿ>n³.

答案 C

7.★已知數(shù)列{a_n}是由正數(shù)組成的數(shù)列,a₁=3,且滿(mǎn)足lga_n=lga_n-1+lgc,其中n>1且為整數(shù),c>2,則等于(　　 )

A.-1　　　　　 B.1　　　　 C.　　　　 D.

分析 本題考查數(shù)列的極限及運(yùn)算能力.

解 ∵a_n>0,lga_n=lga_n-1+lgc,

∴a_n=a_n-1·c,=c,

即數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為a₁=3,公比為c的等比數(shù)列,a_n=3·c^n-1(c>2),

答案 A