高2009級數學模擬練習題(理科)（二）

班次_____姓名________

 

一. 選擇題：（本題共10道小題，每小題5分，共50分。每題只有一個正確的答案）

1.設M，P是兩個非空集合，定義M與P的差集為M-P={x|xM且xp},則M-（M-P）等于（    ）A. P             B. MP           C. MP              D. M

2.已知命題：不等式的解集為R；命題：為減函數. 則是成立的（    ）

A.充分不必要條件  B.必要不充分條件C.充要條件      D.既不充分也不必要條件

3.如果數列{an}滿足是首項為1，公比為2的等比數列，則a100等于（    ）A．2100         B．299                C．25050           D．24950

4.若函數f(x)=asinx－bcosx在x=處有最小值－2，則常數a、b的值是（    ）

A．a=－1,b=          B．a=1,b=－       C．a=,b=－1      D．a=－,b=1

5.已知向量，，若與 共線，則等于(    )

A．；        B．；           C．；           D．；

6.定義在R上的偶函數滿足，且在[-1，0]上單調遞增，設， ，，則大小關系是(    )

A．     B．      C．      D．

7. 函數的圖象恒過點A，若點A在直線

上，其中m的最小值為（   ）A．7   B．8 C．9 D．10

8.已知傾斜角的直線過橢圓的右焦點Ｆ交橢圓于Ａ、Ｂ兩點，Ｐ為右準線上任意一點，則為（  ）Ａ．鈍角Ｂ．直角Ｃ．銳角Ｄ．都有可能

9. 如圖，在矩形中，是的

中點，沿將折起，使二面角為，

則四棱錐的體積是（    ）.

   A.    B.   C.    D.

10. 已知函數，且，的導函數，函數的圖象如圖所示.

   則平面區(qū)域所圍成的面積是(     )                                A．2    B．4    C．5                  D．8

二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分）把答案填在答題卷的相應位置上.)

11. 函數的反函數的定義域為           .

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12.已知直線l1：，l2過點P（? 3，1），且l 1到l 2的角為45，則l2的方程為_______.

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13.已知在同一個球面上,若,則兩點間的球面距離是             

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14. 在北京召開的國際數學家大會，會標是以我國古代數學家趙爽的弦圖

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為基礎設計的.弦圖是由四個全等直角三角形與一個小正方形拼成的一個

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大正方形（如圖）.　如果小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，

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直角三角形中較小的銳角為，那么sin2的值等于             .

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15. 設O是坐標原點，F是拋物線的焦點，A是拋物線上的一點，與x軸正向的夾角為60°，則為               .

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16. 若是以2為周期的偶函數，當時，，在區(qū)間內關于的方程（且）有4個不同的根，則的取值范圍是      .

三.解答題：（本題共6個小題，共76分。要求寫出詳細的解答過程）

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17.（本小題滿分13分）設向量，其中.（1）求的取值范圍；

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（2）若函數的大小.

 

 

 

 

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18.(本小題滿分13分）隨機抽取某廠的某種產品200件，經質檢，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生產1件一、二、三等品獲得的利潤分別為6萬元、2萬元、1萬元，而1件次品虧損2萬元．設1件產品的利潤（單位：萬元）為．

（1）求的分布列；（2）求1件產品的平均利潤（即的數學期望）；

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（3）經技術革新后，仍有四個等級的產品，但次品率降為，一等品率提高為．如果此時要求1件產品的平均利潤不小于4.73萬元，則三等品率最多是多少？

 

 

 

 

 

 

 

 

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19.（本小題滿分13分）已知函數.

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（1）設{an}是正數組成的數列，前n項和為Sn，其中a1=3.若點(n∈N*)在函數y=f′(x)的圖象上，求證：點（n,Sn）也在y=f′(x)的圖象上；

（2）求函數f(x)在區(qū)間（a-1,a）內的極值.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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20. (本小題滿分13分)

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如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，,E，F分別是BC, PC的中點.

（1）證明：AE⊥PD;

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（2）若H為PD上的動點，EH與平面PAD所成最大角的正切值為，求二面角E―AF―C的余弦值.

 

 

 

 

 

 

 

 

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21．本小題滿分12分）設橢圓中心在坐標原點，是它的兩個頂點，直線與AB相交于點D，與橢圓相交于E、F兩點．

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（1）若，求的值；

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（2）求四邊形面積的最大值．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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22.（本小題滿分12分）已知數列的首項，，．

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（1）求的通項公式；

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（2）證明：對任意的，，；

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（3）證明：．

 

 

 

 

 

 

 

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1、B  2、B  3、D  4、D  5、A   6、D   7、B  8、C  9、A  10、B

11、12、13、14、15、16、-，0

17. 解：（1）∵，

∴，

∵，∴，∴，

∴。………………………………….6分

（2）∵，

，

∴，

∵，∴，∴，∴…….12分

18、的所有可能取值有6，2，1，-2；，

，

故的分布列為：

6

2

1

-2

0.63

0.25

0.1

0.02

 

（2）

（3）設技術革新后的三等品率為，則此時1件產品的平均利潤為

依題意，，即，解得 所以三等品率最多為

19、(Ⅰ)證明：因為所以′(x)=x2+2x,

   

 

 

x

(-∞,-2)

-2

(-2,0)

0

(0,+∞)

f′(x)

+

0

-

0

+

f(x)

ㄊ

極大值

ㄋ

極小值

ㄊ

 

 

 

 

 

 

 

由點在函數y=f′(x)的圖象上,

    又所以

    所以,又因為′(n)=n2+2n,所以,

    故點也在函數y=f′(x)的圖象上.

(Ⅱ)解:,

由得.

當x變化時,?的變化情況如下表:

注意到,從而

①當,此時無極小值；

②當的極小值為,此時無極大值；

③當既無極大值又無極小值.

 

20、（Ⅰ）證明：由四邊形ABCD為菱形，∠ABC=60°，可得△ABC為正三角形.

因為      E為BC的中點，所以AE⊥BC.

     又   BC∥AD，因此AE⊥AD.

因為PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD，所以PA⊥AE.

而    PA平面PAD，AD平面PAD 且PA∩AD=A，

所以  AE⊥平面PAD，又PD平面PAD.

所以 AE⊥PD.

 

（Ⅱ）解：設AB=2，H為PD上任意一點，連接AH，EH.

由（Ⅰ）知   AE⊥平面PAD，

則∠EHA為EH與平面PAD所成的角.

在Rt△EAH中，AE=，

所以  當AH最短時，∠EHA最大，

即     當AH⊥PD時，∠EHA最大.

此時    tan∠EHA=

因此   AH=.又AD=2，所以∠ADH=45°，

所以    PA=2.

解法一：因為   PA⊥平面ABCD，PA平面PAC，

        所以   平面PAC⊥平面ABCD.

        過E作EO⊥AC于O，則EO⊥平面PAC，

        過O作OS⊥AF于S，連接ES，則∠ESO為二面角E-AF-C的平面角，

       在Rt△AOE中，EO=AE?sin30°=，AO=AE?cos30°=,

       又F是PC的中點，在Rt△ASO中，SO=AO?sin45°=,

       又    

       在Rt△ESO中，cos∠ESO=

       即所求二面角的余弦值為

21、（Ⅰ）解：依題設得橢圓的方程為，

直線的方程分別為，．??????????????????????????????????? 2分

如圖，設，其中，

且滿足方程，

故．①

由知，得；

由在上知，得．

所以，

化簡得，

解得或．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

（Ⅱ）解法一：根據點到直線的距離公式和①式知，點到的距離分別為，

．??????????????????????????????????????????????????? 9分

又，所以四邊形的面積為

，

當，即當時，上式取等號．所以的最大值為．?????????????????????? 12分

解法二：由題設，，．

設，，由①得，，

故四邊形的面積為

????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分

，

當時，上式取等號．所以的最大值為．     12分

22、解法一：（Ⅰ），，，

又，是以為首項，為公比的等比數列．

，．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

，原不等式成立．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，對任意的，有

．

取，

則．

原不等式成立．

解法二：（Ⅰ）同解法一．

（Ⅱ）設，

則

，

當時，；當時，，

當時，取得最大值．

原不等式成立．

（Ⅲ）同解法一．

 

 

 

 


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