1．求（-1+i)²⁰展開式中第15項的數值;

2．求的導數

解：1.第15項T₁₅=

2.

        Y                 

            1         X  

        O                 

       Y                   

        1                    

        O           X     

在平面直角坐標系內，下列方程表示什么曲線？畫出它們的圖形

1．

2．

解：1.得2x-3y-6=0圖形是直線

2.化為圖形是橢圓

已知圓錐體的底面半徑為R，高為H

求內接于這個圓錐體并且體積最大的圓柱體的高h（如圖）

           A                    

         D   c         H      

                     h         

B   E                     

        O                 

       2R                   

解：設圓柱體半徑為r高為h

由△ACD∽△AOB得

由此得

圓柱體體積

由題意，H＞h＞0，利用均值不等式，有

（注：原“解一”對h求導由駐點解得）

五．（本題滿分15分）

（要寫出比較過程）

解一：當>1時，

解二：

六．（本題滿分16分）

               A               

           M    P（ρ，θ）               

                           X   

     O                        

                N        B    

如圖：已知銳角∠AOB=2α內有動點P，PM⊥OA，PN⊥OB，且四邊形PMON的面積等于常數c²今以O為極點，∠AOB的角平分線OX為極軸，求動點P的軌跡的極坐標方程，并說明它表示什么曲線

解：設P的極點坐標為（ρ，θ）∴∠POM=α-θ，∠NOM=α+θ，

OM=ρcos(α-θ),PM=ρsin(α-θ),

ON=ρcos(α+θ),PN=ρsin(α+θ),

四邊形PMON的面積

這個方程表示雙曲線由題意，

動點P的軌跡是雙曲線右面一支在∠AOB內的一部分

七．（本題滿分16分）

已知空間四邊形ABCD中AB=BC，CD=DA，M，N，P，Q分別是邊AB，BC，CD，DA的中點（如圖）求證MNPQ是一個矩形

              B                   

         M                          

            R                     

   A          N                  

          Q          D            

      K      S                    

                 P                  

          C                        

證：連結AC，在△ABC中，

∵AM=MB，CN=NB，∴MN∥AC

在△ADC中，∵AQ=QD，CP=PD，

∴QP∥AC∴MN∥QP

同理，連結BD可證MQ∥NP

∴MNPQ是平行四邊形

取AC的中點K，連BK，DK

∵AB=BC，∴BK⊥AC，

∵AD=DC，∴DK⊥AC因此平面BKD與AC垂直

∵BD在平面BKD內，∴BD⊥AC∵MQ∥BD，QP∥AC，∴MQ⊥QP，即∠MQP為直角故MNPQ是矩形

八．（本題滿分18分）

          Y                   

 x²=2qy                         

                   y²=2px      

                A₁               

        O A₂  A₃         X    

拋物線y²=2px的內接三角形有兩邊與拋物線x²=2qy相切，證明這個三角形的第三邊也與x²=2qy相切

解：不失一般性，設p>0,q>0.又設y²=2px的內接三角形頂點為

A₁（x₁,y₁),A₂(x₂,y₂),A₃(x₃,y₃)

因此y₁²=2px₁，y₂²=2px₂ ，y₃²=2px₃

其中y₁≠y₂ , y₂≠y₃ , y₃≠y₁ .

依題意，設A₁A₂，A₂A₃與拋物線x²=2qy相切，要證A₃A₁也與拋物線x²=2qy相切

因為x²=2qy在原點O處的切線是y²=2px的對稱軸，所以原點O不能是所設內接三角形的頂點即（x₁,y₁),(x₂,y₂),(x₃,y₃)，都不能是（0，0）;又因A₁A₂與x²=2qy相切，所以A₁A₂不能與Y軸平行，即x₁≠x₂ , y₁≠-y₂,直線A₁A₂的方程是

同理由于A₂A₃與拋物線x²=2qy相切，A₂A₃也不能與Y軸平行，即

x₂≠x₃, y₂≠-y₃,同樣得到

由（1）（2）兩方程及y₂≠0,y₁≠y₃,得y₁+y₂+y₃=0.

由上式及y₂≠0,得y₃≠-y₁，也就是A₃A₁也不能與Y軸平行今將y₂=-y₁-y₃代入（1）式得：

(3)式說明A₃A₁與拋物線x²=2qy的兩個交點重合，即A₃A₁與拋物線x²=2qy相切所以只要A₁A₂，A₂A₃與拋物線x²=2qy相切，則A₃A₁也與拋物線x²=2qy相切

九．（附加題，本題滿分20分，計入總分）

已知數列和數列其中

1．用p,q,r,n表示b_n，并用數學歸納法加以證明;

2．求

解：1.∵₁=p, _n=p_n-1,∴_n=pⁿ.

又b₁=q,

 b₂=q₁+rb₁=q(p+r),

 b₃=q₂+rb₂=q(p²+pq+r²),…

設想

用數學歸納法證明：

當n=2時，等式成立;

設當n=k時，等式成立，即

則b_k+1=q_k+rb_k=

即n=k+1時等式也成立

所以對于一切自然數n≥2，都成立