遼寧省大連市2009年高三年級第二次模擬考試

數(shù)學(xué)試題（理科）

說明：

1．本套試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘。

2．將I卷和II卷的答案都寫在答題卡上，在試卷上答題無效。

參考公式：

半徑為R的球的體積公式：

第Ⅰ卷   選擇題

 

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）

1．已知全集               （    ）

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       A．{0}                     B．{2}                    C．{0，1，2}           D．○

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2．已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)z的虛部是                                                （    ）

       A．1                        B．2i                       C．-1                       D．3

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3．等差數(shù)列的值為                     （    ）

       A．64                       B．54                      C．72                      D．45

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4．已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布=            （    ）

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       A．0.16                    B．0.32                   C．0.68                    D．0.84

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5．α、β為兩個互相平行的平面，a、b為兩條不重合的直線，下列條件：

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①；                                   ②

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③                                     ④

其中是a//b的充分條件的為                                                                             （    ）

       A．①④                   B．①                      C．③                       D．②③

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6．已知的值為       （    ）

       A．為負值                B．為正值               C．等于零                D．不確定

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7．若上取得最小值的最優(yōu)解有無窮多個，則z的最小值是                                                   （    ）

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8．如圖所示，若向圓內(nèi)隨機投一點（該點落在圓

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內(nèi)任何一點是等可能的），則所投的點落在圓

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與y軸及曲線圍成的陰影圖形S內(nèi)部的概

率是                                     （    ）

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       A．             B．                 C．                      D．

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9．若拋物線是拋物線上一點，則經(jīng)過點F、M且與l相切的圓共有                                                （    ）

       A．0個                    B．1個                   C．2個                    D．4個

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10．已知函數(shù)若 的最小值為，則正數(shù)的值為                                                     （    ）

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       A．2                        B．1                        C．                      D．

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11．都是常數(shù)，則的值為                                  （    ）

       A．4                        B．3                        C．2                        D．1

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12．已知映射：，對于實數(shù)在集合A中不存在原象，則t的取值范圍是                                                         （    ）

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       A．                 B．                 C．                 D．

 

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二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）。

13．右面框圖給出的算法執(zhí)行后輸出的結(jié)果是        。

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14．在1，2，3，4，5這五個數(shù)字組成的沒有重復(fù)數(shù)字的

三位數(shù)中，各位數(shù)字之和為奇數(shù)的共有       個。

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15．已知正四面體ABCD的所有棱長均為，頂點A、

B、C在半球的底面內(nèi)，頂點D在半球面上，且D點

在半球底面上的射影為半球的球心，則此半球的體積

20090519

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16．下列正確結(jié)論的序號是          。

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       ①命題

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       ②命題“若”的否命題是“”

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       ③已知線性回歸方程是則當自變量的值為2時，因變量的精確值為7。

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       ④在對兩個分類變量進行獨立性檢驗時計算得，那么就有99%的把握認為這兩個分類變量有關(guān)系。

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三、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

17．（本小題滿分12分）

        電視臺舉辦猜獎活動，參與者需先后回答兩道選擇題：問題A有四個選項，問題B有六個選項，但都只有一個選項是正確的。正確回答問題A可獲獎金m元，正確回答問題B可獲獎金n元。

        活動規(guī)定：①參與者可任意選擇回答問題的順序；②如果第一個問題回答錯誤，則該參與者猜獎活動中止。

        一個參與者在回答問題前，對這兩個問題都很陌生，因而準備靠隨機猜測回答問題。試確定回答問題的順序使獲獎金額的期望值較大。

 

 

 

 

 

 

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18．（本小題滿分12分）

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    設(shè)函數(shù)

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   （I）設(shè)的內(nèi)角，且為鈍角，求的最小值；

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   （II）設(shè)是銳角的內(nèi)角，且求 的三個內(nèi)角的大小和AC邊的長。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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19．（本小題滿分12分）

如圖，在長方體ABCD―A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2。E、F分別為線段AB、D1C上的點。

   （I）若E、F分別為線段AB、D1C的中點，求證：EF//平面AD1；

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20．（本小題滿分12分）

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         已知橢圓的中心在坐標原點O，焦點在x軸上，斜率為―1且過橢圓右焦點F的直線交橢圓于A、B兩點，且直線的基線共線。

   （I）求橢圓的離心率；

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   （II）設(shè)M為橢圓上任意一點，點、的軌跡方程。

 

 

 

20090519

 

 

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21．（本小題滿分12分）

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   （I）已知函數(shù)圖象上的任意兩點，且

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①求直線PQ的斜率圖象上任一點切線的斜率k的取值范圍；

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②由①你得到的結(jié)論是：若函數(shù)、存在，則在=       成立（用表示，只寫出結(jié)論，不必證明）

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   （II）設(shè)函數(shù)。試運用你在②中得到的結(jié)論證明：當

 

 

 

 

 

 

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    請考生在22、23、24題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分。

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22．（本小題滿分10分）

    選修4―1：幾何證明選講

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           （1）求證：DC是⊙O的切線；
           （2）設(shè)AB=2R，求證：AD?OC=2R2。
         
         
         
         
         
         
         
         
        

        試題詳情
        

        23．（本小題滿分10分）
            選修4―4；坐標系與參數(shù)方程
        

        試題詳情
        

            已知直線
           （I）求直線l的參數(shù)方程；
           （II）設(shè)直線l與圓相交于M、N兩點，求|PM|?|PN|的值。
         
         
         
         
         
         
        

        試題詳情
        

        24．（本小題滿分10分）
            選修4―5：不等式選講
        

        試題詳情
        

            已知函數(shù)
         
         
         
         
         
         
         
         
         
        

        試題詳情
        

         
        一、選擇題
        1―5 ADBAC    6―10 BCDCD    11―12 AB
        二、填空題
        13．24    14．24個    15．144     16．②
        三、解答題
        17．解：隨機猜對問題A的概率p1＝，隨機猜對問題B的概率p2＝.………1分
        回答問題的順序有兩種，分別討論如下：
           （1）先回答問題A，再回答問題B.
        參與者獲獎金額ξ可取0，m，m＋n.，則
        P（ξ＝0）＝1－p1＝，P（ξ＝m）＝p1（1－p2）＝，P（ξ＝m＋n）＝p1p2＝.
        Eξ＝0×＋m×＋（m＋n）×＝.                  
………5分
           （2）先回答問題B，再回答問題A.
        參與者獲獎金額η可取0，n，m＋n.，則
        P（η＝0）＝1－p2＝，P（η＝n）＝p2（1－p1）＝，P（η＝m＋n）＝p2p1＝.
        Eη＝0×＋n×＋（m＋n）×＝.                    
………9分
        Eξ－Eη＝（）－（）＝
        于是，當＞時，Eξ＞Eη，先回答問題A，再回答問題B，獲獎的期望值較大；
        當＝時，Eξ＝Eη，兩種順序獲獎的期望值相等；
        當＜時，Eξ＜Eη，先回答問題B，再回答問題A，獲獎的期望值較大. ………12分
        18．解：（1）
          ………3分
        ∵角A為鈍角，
           
……………………………4分
        取值最小值，
        其最小值為……………………6分
           （2）由………………8分
        ,
        …………10分
        在△中，由正弦定理得：   ……12分
        19．（Ⅰ）證法一：取的中點G,連結(jié)FG、AG,
        依題意可知：GF是的中位線，
        則 
GF∥且，
        AE∥ 且,
        所以GF∥AE,且GF=AE,即四邊形AEFG為平行四邊形，………3分
        則EF∥AG,又AG平面，EF平面,
        所以EF∥平面.                           
………6分
        證法二：取DC的中點G，連結(jié)FG,GE.
        ∵∥，平面,∴FG∥平面.          

        同理：∥平面,且,
        ∴平面EFG∥平面,                                   
………3分
        平面,
        ∴EF∥平面.                                        
………6分
        證法三：連結(jié)EC延長交AD于K，連結(jié),E、F分別CK、CD1的中點，
        所以    FE∥D1K                         
………3分
        ∵FE∥D1K,平面，平面,∴EF∥平面.   
………6分
           （Ⅱ）解法一：⊥平面ABCD,過D在平面ABCD內(nèi)作DH⊥EC于H，連接D1H.
        ∵DH是D1H在平面ABCD內(nèi)的射影，∴D1H⊥EC.
        ∴∠DHD1為二面角的平面角。即∠DHD1=.        
………8分
        在△DHD1中，tan∠DHD1=，∴,=,
        ∴,∴,∴,∴. ………12分
        解法二：以D為原點，AD、DC、DD1分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系。
        D（0，0，0），D1（0，0，1），E（1，x，0）、C（0，2，0）。
        平面DEC的法向量=(0,0,1),設(shè)為平面D1EC的法向量，
        則∴∴。  ………8分   
        設(shè)二面角的大小為，∴cos=。
        ∴，∴∵<2，∴。          
………12分
        20．解（Ⅰ）設(shè)，,橢圓的方程為.
        ∵直線平行于向量，
        ∴與=(3，1)共線
        ∴.
        ∴。                               
………2分
        又∵、在橢圓上，∴∴，
        ∴=-1,                      
………4分
        ∴，∴，，∴.………6分
           （Ⅱ）設(shè)，因為直線AB過（，0），所以直線AB的方程為：，代入橢圓方程中得
        ∵∴，即，
        ∴，                     
………8分
        由,
        ∴
        ∵，
        ∴
        ∴，
        ∵，，
        又因為，∴。………10分
        ∴，
        ∴，即。
        ∴的軌跡方程.                 
………12分
        21．解：（1）①直線PQ的斜率,
        由，所以，
        即直線PQ的斜率.                             
…………2分
        由，又，所以，
        即圖象上任一點切線的斜率k的取值范圍為.    
…………4分
        ②.                                             
…………6分
           （2）當，根據(jù)（1）中②的結(jié)論，得到存在，，使得
        ，，                 
…………9分
        又為單調(diào)遞減函數(shù)，所以，即
        ，而，所以
        ，
        因為，所以x>0,  1-x>0
        所以   .                              
…………12分
        22．證明：（Ⅰ）連接OD，∵OD=OA,∴∠OAD=∠ODA,
        ∵OC∥AD, ∴∠OAD=∠BOC, ∠DOC=∠ODA.
        ∴∠DOC=∠BOC,∵OD=OB,OC=OC,
        ∴△DOC≌△BOC.
∴∠ODC=∠OBC.                              
…………2分
        ∵BC是⊙O的切線, ∴∠OBC=90°, ∴∠ODC=90°,
        ∴DC是⊙O的切線.                                          
…………5分
           （Ⅱ）連接BD, ∵AB是⊙0的直徑, ∴∠ADB=90°,∴∠OBC=∠ADB.
        ∵∠OAD=∠BOC.
∴△ADB∽△OBC. ∴,
        ∴                                                      …………10分
        23．解：（Ⅰ）的參數(shù)方程為，
        即。        
…………5分
           （Ⅱ）由
        可將，化簡得。
        將直線的參數(shù)方程代入圓方程得
        ∵，∴。  …………10分
        24．證法一：∵，∴，又∵，
        ∴               
………5分
        。    ………10分
        證法二：設(shè)=，∵，
        當時，；
        當，＜0，是單調(diào)遞減函數(shù)，………5分
        ∵，∴，
        ∴==；
        ==。
        ∴。         
………10分
         
        
				
	
        
		
        


        同步練習冊答案
        


        


        

    
        
    
    
    






















        	
        



        
	







        


        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