Question

6．如圖，在豎直平面內(nèi)由$\frac{1}{4}$圓弧AB和$\frac{1}{2}$圓弧BC組成的光滑固定軌道，兩者在最低點B平滑連接．AB弧的半徑為R，BC弧的半徑為$\frac{R}{2}$．一小球在A點正上方與A相距$\frac{R}{4}$的O點由靜止開始自由下落，經(jīng)A點沿圓弧軌道運動，重力加速度為g．
（1）假設(shè)A點所在水平面為零勢能面，分別求小球在O點和B點時的重力勢能的值．
（2）通過計算判斷小球能否沿軌道運動到C點．

Answer 1

分析 （1）假設(shè)A點所在水平面為零勢能面，小球在O點時的重力勢能為正值，在B點的重力勢能為負值，由E_p=mgh求解．
（2）假設(shè)小球能到達C點，由機械能守恒定律求出小球到達C點的速度，與臨界速度比較，即可判斷小球能否到C點．

解答 解：（1）假設(shè)A點所在水平面為零勢能面，小球在O點時的重力勢能為：
E_PO=mg•$\frac{R}{4}$=$\frac{mgR}{4}$
在B點的重力勢能為：E_PO=-mgR
（2）若假設(shè)小球能運動到C點，設(shè)到達C點時速率為v，軌道對小球的彈力為N，根據(jù)向心力得：
mg+N=m$\frac{{v}^{2}}{\frac{R}{2}}$
 又因為N≥0，所以得 v≥$\sqrt{\frac{1}{2}gR}$…①
又根據(jù)機械能守恒得：mg$\frac{R}{4}$=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
 則v=$\sqrt{\frac{1}{2}gR}$…②
由①②比較知假設(shè)成立，即小球能沿軌道運動到C點．
答：（1）小球在O點和B點時的重力勢能的值分別為$\frac{mgR}{4}$和-mgR．
（2）小球能沿軌道運動到C點．

點評 分析清楚小球的運動過程，把握圓周運動最高點臨界速度的求法：重力等于向心力，同時要熟練運用機械能守恒定律．要注意重力勢能的相對性，當物體在零勢能面下方時，重力勢能是負值．