Question

12．如圖所示，豎直平面直角坐標系中，一半徑為R的絕緣光滑管道位于其中，管道圓心坐標為（0，R），其下端點與x軸相切與坐標原點，其上端點與y軸交于C點，坐標為（0，2R）．在第二象限內(nèi)，存在水平向右、范圍足夠大的勻強電場，電場強度大小為E₁=$\frac{\sqrt{3}mg}{3q}$，在x≥R，y≥0范圍內(nèi)，有水平向左，范圍足夠大的勻強電場，電場強度大小為E₁=$\frac{mg}{q}$．現(xiàn)有一與x軸正方向夾角為45°，足夠長的絕緣斜面位于第一象限的電場中，斜面底端坐標為（R，0），x軸上0≤x≤R范圍內(nèi)是水平光滑軌道，左端與管道下端相切，右端與斜面底端平滑連接，有一質(zhì)量為m，帶電量為+q的小球，從靜止開始，由斜面上某點A下滑，通過水平光滑軌道（不計轉(zhuǎn)角處能量損失），從管道下端點B進入管道（小球直徑略小于管道內(nèi)徑，不計小球的電量損失）（已知重力加速度為g）．試求：
（1）小球至少從多高處滑下，才能到達管道上端點C？要求寫出此時小球出發(fā)點的坐標；
（2）在此情況下，小球通過管道最高點C受到的壓力多大？方向如何？

Answer 1

分析 （1）電場力和重力的合力作用線通過圓心時，合力作用線與管道的交點D處小球的速度最小，先計算B點最小速度，由動能定理確定出發(fā)點的坐標．
（2）根據(jù)牛頓第二定律求小球通過管道最高點C受到的壓力．

解答 解：（1）如圖，在第二象限內(nèi)，小球受到水平向右的電場力和豎直向下的重力，設(shè)兩者合力與y軸夾角為θ，則：

tanθ=$\frac{q{E}_{1}}{mg}$=$\frac{\sqrt{3}mg}{3mg}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
解得：θ=30°
即帶電小球所受重力和電場力的合力方向斜向右下方，與y軸夾角為30⁰，將重力場與電場等效為新的場，等效重力加速度
g'=$\frac{g}{cos30°}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$g．
分析可知，電場力和重力的合力作用線通過圓心時，合力作用線與管道的交點D處小球的速度最小，為v_D=0．
先計算B點最小速度，從B點到D點，由動能定理有：
-mg（R+$\frac{\sqrt{3}}{2}$R）-qE₁×$\frac{1}{2}$R=-$\frac{1}{2}$mv_B²
得v_B²=$\frac{6+4\sqrt{3}}{3}gR$
在第一象限的復(fù)合場中，分析可知，小球由靜止開始，做勻加速運動，其等效加速度為a=$\sqrt{2}$g
所以，A點縱坐標y_A=$\frac{{v}_{B}^{2}}{2a}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{6+4\sqrt{3}}{3}gR$×$\frac{1}{2\sqrt{2}g}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{3+2\sqrt{3}}{6}$R，
A點橫坐標xA=$\frac{3+2\sqrt{3}}{6}R$+R=$\frac{9+2\sqrt{3}}{6}$R，即（$\frac{9+2\sqrt{3}}{6}$R，$\frac{3+2\sqrt{3}}{6}$R）
（2）從B點到C點，由動能定理有：
-mg×2R=$\frac{1}{2}$mv_C²-$\frac{1}{2}$mv_B²
得v_c²=$\frac{4\sqrt{3}-6}{3}gR$
小球通過最高點C時，向心力由重力和管道壓力提供，設(shè)管道對小球的作用力豎直向上，有：
mg-N=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
N=mg-m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$=$\frac{9-4\sqrt{3}}{3}$mg＞0
所以，管道對小球的壓力大小為$\frac{9-4\sqrt{3}}{3}$mg，方向向上．
答：（1）小球出發(fā)點的坐標為（$\frac{9+2\sqrt{3}}{6}$R，$\frac{3+2\sqrt{3}}{6}$R）
（2）在此情況下，小球通過管道最高點C受到的壓力為$\frac{9-4\sqrt{3}}{3}$mg，方向向上．

點評 本題考查粒子在電場力和重力作用下做勻速圓周運動，可以將兩力等效為一個力從而得出等效重力場，注意臨界條件的正確確定再靈活運用功能關(guān)系與牛頓第二定律進行分析求解．