Question

1．如圖甲所示，兩根足夠長的光滑平行金屬導(dǎo)軌相距l(xiāng)=0.4 m，導(dǎo)軌平面與水平面成θ=30°角，下端通過導(dǎo)線連接阻值R=0.5Ω的電阻．金屬棒ab阻值r=0.3Ω，質(zhì)量m=0.2kg，放在兩導(dǎo)軌上，與導(dǎo)軌垂直并保持良好接觸．其余部分電阻不計(jì)，整個(gè)裝置處于垂直導(dǎo)軌平面向上的勻強(qiáng)磁場中．取g=10 m/s²．
（1）若磁場是均勻增大的勻強(qiáng)磁場，在開始計(jì)時(shí)即t=0時(shí)刻磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀=2.0T，為保持金屬棒靜止，作用在金屬棒上平行斜面向上的外力F隨時(shí)間t變化的規(guī)律如圖乙所示，求磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間t變化的關(guān)系．
（2）若磁場是磁感應(yīng)強(qiáng)度大小恒為B₁的勻強(qiáng)磁場，通過額定功率P=10W的小電動(dòng)機(jī)對金屬棒施加平行斜面向上的牽引力，使其從靜止開始沿導(dǎo)軌做勻加速度直線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過$\frac{8}{7}$ s電動(dòng)機(jī)達(dá)到額定功率，此后電動(dòng)機(jī)功率保持不變，金屬棒運(yùn)動(dòng)的v-t圖象如圖丙所示．試求磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁的大小和小電動(dòng)機(jī)剛達(dá)到額定功率時(shí)金屬棒的速度v₁的大��？

Answer 1

分析 （1）由磁場的變化均勻，可知產(chǎn)生的感應(yīng)電流是恒定的，則金屬棒受到的安培力恒定，又金屬棒靜止，由受力平衡可得磁感應(yīng)強(qiáng)度與時(shí)間關(guān)系．
（2）金屬棒達(dá)到最大速度時(shí)，合力為零，由額定功率可以求得此時(shí)的牽引力，由感應(yīng)電動(dòng)勢可以求得感應(yīng)電流，進(jìn)而得到安培力，帶入平衡方程可得B₁，同理可以求得小電動(dòng)機(jī)剛達(dá)到額定功率時(shí)金屬棒的速度v₁的大小．

解答 解：（1）由于磁場均勻增大，所以金屬棒中的電流I大小保持不變，安培力F_安方向沿斜面向下，設(shè)任意時(shí)刻t磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，金屬棒靜止，合外力為零，則有：
F=mgsinθ+BIl
由圖乙可知在任意時(shí)刻t外力為：F=（2+t）N
在t=0時(shí)刻有：F₀=mgsinθ+B₀Il
由圖可知，F(xiàn)₀=2 N
解得：B₀=2T；
聯(lián)立解得：B=（2+2t） T
（2）由圖丙可知，金屬棒運(yùn)動(dòng)的最大速度v_m=5 m/s，此時(shí)金屬棒所受合力為零，設(shè)金屬棒此時(shí)所受拉力大小為F_m，流過棒中的電流為I_m，則
最大功率P=F_mv_m
由平衡條件可得：F_m-mgsinθ-B₁I_ml=0
最大電動(dòng)勢為：E_m=B₁lv_m
最大電流為：I_m=$\frac{{E}_{m}}{R+r}$
即：$\frac{P}{{v}_{m}}$-mgsinθ-$\frac{{B}_{1}^{2}{l}^{2}{v}_{m}}{R+r}$=0
代入數(shù)據(jù)解得：B₁=1T
小電動(dòng)機(jī)剛達(dá)到額定功率時(shí)，設(shè)金屬棒所受拉力大小為F₁，加速度大小為a，運(yùn)動(dòng)的速度大小為v₁，流過金屬棒的電流為I₁，根據(jù)牛頓第二定律得：
F₁-mgsinθ-B₁I₁l=ma
由功率公式可得：P=F₁v₁
勻加速過程的末速度：v₂=at
產(chǎn)生的電動(dòng)勢為：E₁=B₁lv₁
感應(yīng)電流為：I₁=$\frac{{E}_{1}}{r+R}$
即：$\frac{P}{{v}_{1}}$-mgsinθ-$\frac{{B}_{1}{l}^{2}{v}_{1}}{R+r}$=$\frac{m{v}_{1}}{t}$
代入數(shù)據(jù)解得：v₁=4m/s
答：（1）磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間t變化的關(guān)系B=（2+2t） T．
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁的大小為1T，小電動(dòng)機(jī)剛達(dá)到額定功率時(shí)金屬棒的速度v₁為4m/s

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)體切割磁感線中的功能關(guān)系以及動(dòng)力學(xué)的分析，解題的重點(diǎn)是對給定的圖象的識(shí)別，要能從圖象中識(shí)別出來力的變化，物體運(yùn)動(dòng)的變化才能明確物理過程，再正確選擇物理規(guī)律分析求解即可．